算法优化入门：把正整数n写成连续的正整数之和

算法优化入门：AOJ1830:把正整数n写成连续的正整数之和

题目描述

问题描述：给定n，n写成连续的正整数之和，求所有的方案

样例输入 15

样例输出

1 5
4 6
7 8

样例解释

15=1+2+…+5
15=4+5+6
15=7+8

$O(n^3)$暴力枚举法

#include 
using namespace std;
int main() {
  int n;
  cin >> n;
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
      int s = 0;
      for (int k = i; k <= j; k++)
        s += k;
      if (s == n)
        cout << i << " " << j << endl;
    }
  return 0;
}
/**************************************************************
    Problem: 1830
    User: acm
    Language: C++
    Result: 时间超限
****************************************************************/

$O(n^2)$改进的枚举法：

考虑到$i+..+j$为等差数列其和$s=(j-i+1)\ast (i+j)/2$;

#include 
using namespace std;
int main() {
  int n;
  cin >> n;
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
      int s = (j - i + 1) * (i + j) / 2;
      if (s == n)
        cout << i << " " << j << endl;
    }
  return 0;
}
/**************************************************************
    Problem: 1830
    User: acm
    Language: C++
    Result: 时间超限
    Time:21 ms
    Memory:2020 kb
****************************************************************/

$O(n\log (n))$部分和：

构造前缀和$S[n+1]$：$S[0]=0;S[i]=S[i-1]+i(i>=1)$则$i+(i+1)+...+j=S[j]-S[i-1]$;
又因为S数组单调 增加，我们可以对于每一个$S[k]$,二分查找$y=S[k]+n$所在的位置$j$，如果在就有$S[j]-S[k]=n$所求答案就是$i=k-1,j$

#include 
using namespace std;
int main() {
  int n;
  cin >> n;
 
  vector<int> S(n + 1, 0);
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    S[i] = S[i - 1] + i;
  for (int k = 0; k <= n; k++) {
    int x = S[k] + n;
    int j = lower_bound(S.begin(), S.end(), x) - S.begin(); // O(logN)
    if (S[j] == x && j > k + 1)
      cout << k + 1 << " " << j << endl;
  }
  return 0;
}
/**************************************************************
    Problem: 1830
    User: acm
    Language: C++
    Result: 正确
    Time:0 ms
    Memory:2024 kb
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$O(\sqrt{n})$数论、因子分解、解方程：

再次考虑方程$2n=(j-i+1)(j+i)$，只要枚举$2n$的每一个因子$p$和对应的因子$q=2n/p$则通过方程组$p=j-i+1$ 和$q=i+j$可以求出$i=(q-p+1)/2,j=(p+q-1)/2$

#include 
using namespace std;
int main() {
  int n;
  cin >> n;
  int m = 2 * n;
  for (int p = sqrt(m); p >= 1; p--) {
    if (m % p != 0)
      continue;
    int q = m / p;
    int i = (q - p + 1) / 2;
    int j = (p + q - 1) / 2;
    if (j > i && j - i + 1 == p && i + j == q)
      cout << i << " " << j << endl;
  }
  return 0;
}
/**************************************************************
    Problem: 1830
    User: acm
    Language: C++
    Result: 正确
    Time:21 ms
    Memory:2020 kb
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总结：

一个问题可以不停被优化真是非常有趣~~