莫比乌斯反演入门学习总结

前置技能点:

整除分块:

  现在我们想求:
$$\sum _{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$$

不妨先考虑 $\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$的结果.
$$\{\begin{array}{l}i\le \sqrt{n},i只有\sqrt{n}种可能,所以\lfloor \frac{n}{i}\rfloor 也只有\sqrt{n}种可能\\ i>\sqrt{n},虽然i有n-\sqrt{n}种可能,但是\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \le \sqrt{n}所以\lfloor \frac{n}{i}\rfloor 也只有\sqrt{n}中可能\end{array}$$

既然如此,我们不妨根据 $\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$ 分块,然后每一块统一计算大小,这样我们在$O\left(\sqrt{n}\right)$ 的复杂度下求解了.

积性函数:

$$积性函数f(x)满足:任何x,y，如果gcd(x,y)=1,则f(xy)=f(x)f(y)$$

性质:

$如果f(x),g(x)为积性函数,p为常数,则:$
$$\begin{array}{rl}h(x)& =f^p(x)\\ h(x)& =f(x^p)\\ h(x)& =f(x)g(x)\\ h(x)& =\sum _{d|x}f(d)g(\frac{x}{d})\end{array}$$
$h(x)均为积性函数$

常见的几个积性函数:

$$\begin{array}{rl}单数函数:ϵ(n)& =[n==1];\\ 恒等函数:id(n)& =n;\\ 常数函数:1(n)& =1;\\ 除数函数:{\sigma }_k(n)& =\sum _{d|n}{d}^k;如果k=0,可简写为d(n)\\ 欧拉函数:\varphi (n)& =\sum _{i=1}^n[gcd(i,j)==1];\\ 莫比乌斯函数:u(n)& =\{\begin{array}{ll}1& n=1\\ (-1{)}^k& k为n的不同素因子个数,且每个素因子只拥有一个\\ 0& otherwise\end{array}\end{array}$$

Dirichlet卷积:

$对于数论函数f(x),g(x):$
$$(f\ast g{)}_n=\sum _{d|n}f(d)g(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor )$$

$卷积满足交换律,结合律.$

举例:

$$\begin{array}{rl}ϵ& =u\ast 1\\ d& =1\ast 1\\ \sigma & =id\ast 1\\ \varphi & =id\ast u\end{array}$$

莫比乌斯函数:

$$u(n)=\{\begin{array}{ll}1& n=1\\ (-1{)}^k& k为n的不同素因子个数,且每个素因子只拥有一个\\ 0& otherwise\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}性质:莫比乌斯函数不& 仅是积性函数,且满足\\ \sum _{d|n}u(d)& =\{\begin{array}{ll}1& n=1\\ 0& n\ne 1\end{array}\end{array}$$
$$\begin{gathered} 这个函数在反演中会很常见,经常性的需要求\text{前缀和}or\text{O(1)查询},我们可以用素数筛O(n)预处理. \\ 准确的来说,所有的积性函数都可以通过素数筛O(n)求出.但不同的积性函数的转移略有不同, \end{gathered}$$

void getMu() {
     
  mu[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
     
    if (!flg[i]) p[++tot] = i, mu[i] = -1;
    for (int j = 1; j <= tot && i * p[j] <= n; ++j) {
     
      flg[i * p[j]] = 1;
      if (i % p[j] == 0) {
     
        mu[i * p[j]] = 0; // 不同的积性函数可以这里会有差异.
        break;
      }
      mu[i * p[j]] = -mu[i];
    }
  }
}

莫比乌斯反演:

$$\begin{gathered} 若f(n)=\sum _{d|n}g(d), \\ 则g(n)=\sum _{d|n}u(d)f(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor ) \end{gathered}$$

证明:
$$\begin{array}{rl}f& =g\ast 1\\ 两边同时卷积:f\ast u& =g\ast 1\ast u\\ 利用结合律:f\ast u& =g\end{array}$$

反演结论:

$$\begin{gathered} [gcd(i,j)=1]⟺\sum _{d|gcd(i,j)}u(d) \\ 通过上面u(n)的定义,显然这个式子是成立的 \end{gathered}$$

例题讲解: