[哈工大C语言程序设计]水手分叶子背后的数学问题

1题目描述

这里是对题目进行了抽象描述,如果想看原题请点击链接,在题目中的第五题进行查看
https://www.icourse163.org/learn/HIT-69005?tid=1450219455#/learn/ojhw?id=1222236737

设一共有y个物品,每次分成a份,一共分n次,分完后每次拿走c份不继续分,并且剩下b个物品,然后从剩下的a-c份中再拿出d份来继续分发.
如果这么看比较糊涂的话,套用一下五个水手分椰子的题干如下:5个水手,发现一堆椰子,第一个水手将椰子分成等量的5堆,还剩下1个给了猴子.将剩下的4堆混合后重新分成等量的5堆,剩下的一个给了猴子,…,最后一个水手将剩下的椰子分成等量的5堆之后,同样将剩下的一个给了猴子.
显然我们有:$a=n=5,b=1,c=1,d=4$

2 问题求解

最后一堆剩下的物品一共有$a\times x+b$个,这里的$x$暂且作为未知数.
前一次分堆的结果是$(a\times x+b)\times a/d+b=a^2\times x/d+b\times a/d+b$
再前一次分堆的结果是
$(a^2\times x/d+b\times a/d+b)\times a/d+b$=
$a^3\times x/d^2+b\times (a/d{)}^2+b\times a/d+b$
以此类推,我们有

这里用到了 等比数列前n项和

$y=a^n\times x/d^{n-1}+b\times (a/d{)}^{n-1}+...+b\times (a/d)+b$
$y=[a^n\times x+[a^{n-1}b[(a/d{)}^{n-1}+(a/d{)}^{n-2}+...+(a/d)+1]]/d^{n-1}$
$y=[x\times a^n+[a^{n-1}b(1-(d/a{)}^n/(1-d/a)]]/d^{n-1}$

$1-d/a=a-d/a=c/a$

最后有
$y=a^n[(x+b/c)/d^{n-1}]-bd/c$
如果$b/c$不是整数的话,那么无论$x$取什么值,都不成立.如果$b/c$是整数的话,一定存在满足的$x$,使得
$[(x+b/c)/d^{n-1}]=1$从而有最小值.进一步化简有
$y=a^n-bd/c$

3 文章来源

http://blog.sina.com.cn/s/blog_a1494e1301013w7v.html
看完这个老师的精彩推理自己整理了一遍,如果有哪些不清楚的地方可以去这个老师的博客看一下.