模为奇素数的原根求解

此问题的基本思路：

定理：设p为奇素数，p-1的所有不同素因数$q_1,q_2,......,q_s$,则g是模p原根的充要条件是

$g^{\frac{(p-1)}{q_i}}̸=$ 1（mod p），i=1,2,…,s

注：$̸=$代表不同余

1. 求任一原根g
   ①求p-1的素因数$q_1,q_2,.......,q_s$
   ②求得e=$\frac{(p-1)}{q_i}$, $q_1,q_2,.......,q_s$
   ③判断g${}^e$(mod p)是否同余1，g为2,3,4,5,…等，逐个验算，求得某一个原根g
2. 求d,使d满足(d，p-1)=1
3. 求g${}^d$(mod p)，其解遍历模p的所有原根。

下面是实现代码（此代码采用int保存所有数据）

#include
#include

#define MAX_NUM 500

using namespace std;
//判断一个数是否为素数 
bool IsPrime(int n)
{
	if (n == 1)	return false;
	if (n == 2)	return true;
	int sqrtn = (int)sqrt(n);
	for (int i = 2; i < sqrtn + 1; i++)
		if (n%i == 0)	return false;
	return true;
}
//如果数n是个素数，则直接添加到素因数数组pri_factor，并终止此函数。
//否则，从[2,∞]中寻得素数，将其添加到数组并除以n。
//求一个数n的素因数,返回数组大小
int PrimeFactor(int *pri_factor, int n)
{
	int index = 0;//用于数组去重并记录数组大小
	while (!IsPrime(n)){
		for (int i = 2; i < n / 2 + 1; i++){
			if (IsPrime(i)&&n%i==0){//找到一个素因数i
				if (index > 0 && pri_factor[index - 1] == i)
					index--;
				pri_factor[index++] = i;
				n /= i;
				break;
			}
		}
	}
	if (index == 0)
		pri_factor[index++] = n;
	else if(n!=pri_factor[index-1])
		pri_factor[index++] = n;
	return index;
}
//a的e次幂（mod p）
int IntModPow(int a, int e, int p)
{
	int factor = 1;//积
	for (int i = 0; i < e; i++){
		factor *= a;
		if (factor > p)
			factor %= p;
	}
	return factor;
}
//求某一原根
int OneRoot(int *pri_factor,int len_array,int p)
{
	int g = 2;
	int *q;
	q = new int[len_array];
	for (int i = 0; i < len_array; i++)
		q[i] = (p - 1) / pri_factor[i];
	for (int i = 0; i < 65535; i++){
		//sign为1表示g的q[j]次幂模p同余1
		int j,sign=0;
		for (j = 0; j < len_array; j++){
			//若g的q[j]次幂模p同余1，则不合定理
			//跳过此g
			if (IntModPow(g, q[j], p) == 1){
				sign = 1;
				break;
			}
		}
		//遍历q[j],满足g的q[j]次幂模p不同余1，
		//则说明g为原根
		if (!sign&&j == len_array){
			delete[]q;
			return g;
		}
		g++;
	}
	//若原根未找到，则返回0
	delete[]q;
	return 0;
}
//求两个数的最大公约数
int GcdNum(int a, int b)
{
	while (a != b){
		if (a%b == 0)
			return b;
		if (b%a == 0)
			return a;
		if (a > b)	a %= b;
		else if (a < b)	b %= a;
	}
	return a;
}
//求与n互素的d,返回数组大小
int RootE(int *d, int n)
{
	int index = 0;
	for (int i = 1; i < n; i++)
		if (GcdNum(i, n) == 1)
			d[index++] = i;
	return index;
}

//主函数
int main()
{
	int p;//模
	int pri_factor[MAX_NUM];//素因数
	int d[MAX_NUM];//原根的指数
	while (1){
		cin >> p;
		int len_pri=PrimeFactor(pri_factor,p-1);
		int one_root=OneRoot(pri_factor, len_pri, p);
		
		if (one_root == 0){
			cout << "未找到原根" << endl;
			return 0;
		}
		int len_d = RootE(d, p - 1);
		cout << "原根的个数：" << len_d << endl;
		cout << "原根分别为：";
		for (int i = 0; i < len_d; i++)
			cout << IntModPow(one_root, d[i], p) << " ";
		cout << endl;
	}
	return 0; 
}

注：若有错误，欢迎大家在评论区指正。