1406D - Three Sequences(化简贪心+差分)

最大值只和$max(b_n,c_1)$有关

假设$c_1=x,那么b_1=y=a_1-x$

如何构造$b_2,c_2?$

$假设a_2>a_1,那么c_2必然是越大越好,因为b_2+c_2=a_2$

$c_2大,b_2就会小,且对后续的c_i相对更大,那么后续的b_i也会更小)$

$c_2最大能大到c_1,满足不递增$

$$b_2=a_2-c_2$$

$$b_2=a_2-c_1$$

$$b_2=a_2-(a_1-b_1)$$

$$b_2=b_1+(a_2-a_1)$$

$惊人的发现!!因为此时a_2>a_1,所以b_2>b_1,满足递增,且是最优情况!$

$所以有推广,当a_i>a_{i-1},最优c_i=c_{i-1},b_i=b_{i-1}+(a_i-a_{i-1})$

$当a_i<a_{i-1},最优b_i=b_{i-1},c_i=c_{i-1}+(a_i-a_{i-1})$(这个推法和上面一样)

$所以我们计算所有{\sum }_{i=2}^{n}max(0,a_i-a_{i-1})=K$

$假定c_1=x,那么b_1=a_1-x$

$那么b_n=a_1-x+K$

$如此一来,max(b_n,c_1)=max(a_1-x+K,x)$

那么容易看出x最优是$\frac{a_1+K}{2}$

$而对于q组询问,只改变了a_l-a_{l-1}和a_{r+1}-a_r$

$所以我们直接维护a数组的差分序列a_i-a_{i-1}$

每次就可以快速修改差分序列,而且我们也只需要用到差分序列

$所以可以O(1)处理$

#include 
using namespace std;
#define int long long//注意我开了long long 
const int maxn=4e5+10;
int n,a[maxn],K;
void cha_fen(int index,int x)
{
	if( index>n )	return;
	if( a[index]>0 )	K-=a[index];
	a[index]+=x;
	if( a[index]>0 )	K+=a[index];
}
signed main()
{
	cin >> n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin >> a[i];
		if( i!=1&&a[i]>a[i-1] )	K+=a[i]-a[i-1];
	}
	for(int i=n;i>=1;i--)	a[i]=a[i]-a[i-1];//只需要a[i]-a[i-1] 
	int a1=a[1];
	cout << ((a1+K+1)>>1) << '\n';//向上取整,本来是除以2,但是有负数取整存在,所以>>1 
	int q; cin >> q;
	while( q-- )
	{
		int l,r,x;
		cin >> l >> r >> x;
		if( l==1 )	a1+=x;
		else cha_fen(l,x);
		cha_fen(r+1,-x);
		cout << ((a1+K+1)>>1) << '\n';
	}
}