【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）

扩展中国剩余定理，是求解形如：
$x\equiv a_{1}($ mod $b_{1})$
$x\equiv a_{2}($ mod $b_{2})$
$x\equiv a_{3}($ mod $b_{3})$
$x\equiv a_{i}($ mod $b_{i})$
...
$x$ 的解（最小非负整数解）

 

考虑只有一个等式，显然，$x$ 的解可以为 $a_{i}$，而$x+t*b_{i}$ 可以表示出 $x$ 的所有解。
考虑我们已经得到一个解 $x$，和一个可以构造出通解的参数 $M$，将该解与下一个方程进行合并，则不难得出等式：$x+y*M=a_{j}+k*b_{j}$，
进行小小的转化，得：
$M*y+b_{j}*(-k)=a_{j}-x$.
这里有一个小问题，就是等式的右边可能是负数，显然这就非常不好办。

好在 $a_{j'}$ 可以由 $a_{j}$ 加上若干个 $b_{j}$ 得到，所以我们将右边进行一下变换：
$(a_{j}-x$ % $b_{j}+b_{j})$ % $b_{j}$.
用 $exgcd$ 求出 $y$ 的值后，可以 $x$ 的新解就是 $x+y*M$.
这时 $M'=M*\frac{b_{j}}{gcd(b_{j},M)}$，至于为什么，由于笔者实力有限，并不知道如何证明这一步。

 

Code:

#include
#include
#include
typedef long long ll;
using namespace std;
void setIO(string a){ freopen((a+".in").c_str(),"r",stdin), freopen((a+".out").c_str(),"w",stdout);}
const int maxn=100000+5;
int n;
ll ai[maxn],bi[maxn];
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(b==0){ x=1, y=0; return a;}
    ll gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll tp=x;
    x=y, y=tp-a/b*y;
    return gcd;
}
ll mult(ll a,ll b,ll mod){
	long long res=0;
	while(b>0){
		if(b&1) res=(res+a)%mod;
		a=(a+a)%mod;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
ll excrt(){
	ll x,y;
	ll ans=bi[1],M=ai[1];
	for(int i=2;i<=n;++i){
		ll a=M,b=ai[i],c=(bi[i]-ans%ai[i]+ai[i])%ai[i];
		ll gcd=exgcd(a,b,x,y);
		x=mult(x,c/gcd,b/gcd);
		ans+=x*M;
		M*=b/gcd;
		ans=(ans%M+M)%M;
	}
	return (ans%M+M)%M;	
}
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;++i) 
		cin>>ai[i]>>bi[i];
	cout<