算法基础 - 素数判定(Miller-Rabin算法)

素数判定

素数不需要解释了，那么素数如何判定？

1. 最简单的算法，暴力测试，就是最简单的，从2枚举到 sqrt(n) 就可以知道是不是素数了。

2. Fermat小定理

   费马小定理：对于质数p和任意整数a，有 ap≡a(mod p) (同余)。反之，若满足 ap≡a(mod p) ， p 也有很大概率为质数。将两边同时约去一个a，则有 a(p−1)≡1(mod p)

3. Mfiller-Rabin素数判定，在Fermat基础上增加了二次判定：

   如果p是奇素数，则 x2≡1(mod p) 的解为 x≡1 或 x≡p−1(mod p)

Fermat小定理

这个肯定是由费马提出来的，这个定理我们看到之后，其实发现是来判断一个数字是不是合数的，而不是素数。 为什么？

因为他说的是，所有素数p一定满足a^(p-1) % p = 1.所以我们对一个数字如果判断发现不满足了，就一定是合数。那么满足一定是素数么？ 不一定啊，因为有可能比较特殊的合数也是有可能有这个效果的。所以要多测试。

结论：

如果不符Fermat小定理，一定是合数， 如果符合Fermat小定理不一定是素数（但是是素数的可能性比较高）。

Miller-Rabin算法

其实二次判定是包含Fermat小定理的，我最开始没看懂这个x是什么得来的，其实这个x是：

a(p−1)=a(2u∗r)

所以

p−1=2u∗r

那么x自然也知道了： 这个x是一系列的数字，让在指数 2^u哪里拿出一个 2就编程 2^(u-1) * 2，这样不就有平方了么，剩下的底数就是 x了，并且在还可以继续不停的这样操作，到 u = 0为止。

注意Miller-Rabin算法同样不保证能够一定是素数，所以多次检测，会让错误率变低：1/(4^S)，这里S是检测次数。

举例说明

举个Matrix67 Blog上的例子，假设n=341，我们选取的a=2。则第一次测试时，2^340 mod 341=1。由于340是偶数，因此我们检查2^170，得到2^170 mod 341=1，满足二次探测定理。同时由于170还是偶数，因此我们进一步检查2^85 mod 341=32。此时不满足二次探测定理，因此可以判定341不为质数。

可以发现这个例子里面：x = 2^85 , x= 2^170（看到了没有出现x = 2^340的情况，不然一平方操作就是2^680 mod 341了）

代码实现

先上一下伪代码：参考自：hihocoder 1287

我自己做了一点更改，因为原版的伪代码，在while循环哪里，有一个比较误导的操作：

Miller-Rabin(n):
    If (n <= 2) Then
        If (n == 2) Then
            Return True
        End If
        Return False
    End If

    If (n mod 2 == 0) Then
        // n为非2的偶数，直接返回合数
        Return False
    End If

    // 我们先找到的最小的a^u，再逐步扩大到a^(n-1)

    u = n - 1; // u表示指数
    while (u % 2 == 0) 
        u = u / 2
    End While // 提取因子2

    For i = 1 .. S // S为设定的测试次数
        a = rand_Number(2, n - 1) // 随机获取一个2~n-1的数a
        x = a^u % n
        tu = u
        While (tu < n) 
            // 依次次检查每一个相邻的 a^u, a^2u, a^4u, ... a^(2^k*u)是否满足二次探测定理
            y = x^2 % n 
            If (y == 1 and x != 1 and x != n - 1)   // 二次探测定理
                // 若y = x^2 ≡ 1(mod n)
                // 但是 x != 1 且 x != n-1
                Return False
            End If
            x = y
            tu = tu * 2 
        End While
        If (x != 1) Then    // Fermat测试
            Return False
        End If
    End For
    Return True

看到伪代码发现是不是挺简单的？But! 这里要时刻注意，不要整数溢出（也就是超出数字范围）。

用long long类型也不能单纯解决办法，尤其在计算2^340这种操作的时候，复杂度也不低，所以需要用 我之前写过的一个内容：快速幂

AC代码（hihocoder 1287）

/*
 ID: chenfus2
 PROG: pprime
 LANG: C++
 */
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

#ifndef ll
#define ll long long
#endif
// rand 2 - e
ll rand_Number(ll e){
    return rand()%e+1;;
}
// a*b % c
ll mult_mod(ll a,ll b,ll c){
    a %= c;
    b %= c;
    ll res = 0;
    while(b){
        if(b & 1){
            res += a;
            res %= c;
        }
        a <<= 1;
        if(a >= c)
            a %= c;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

//a^u % num
ll getRemainder(ll a,ll u, ll num){
    ll cur = 1;
    ll nxt = a;
    while (u) {
        if ((u&1) > 0) {
            cur = mult_mod(cur, nxt, num);
        }
        nxt = mult_mod(nxt, nxt, num);
        u = u>>1;
    }
    return cur%num;
}


bool checkPrime(ll num){
    if (num == 2) {
        return true;
    }
    if (num < 2 || num % 2 == 0) {
        return false;
    }
    ll u = num-1;
    int S = 20; //检测次数
    while (u % 2 == 0) {
        u /= 2;
    }
    for (int i = 0; i < S; i++) {
        ll a = rand_Number(num-1);
        ll x = getRemainder(a, u, num);
        ll y = x;
        ll tu = u;
        while (tu < num) {
            y = mult_mod(x, x, num);;
            if (y == 1 && x != 1 && x != num-1) {
                return false;
            }
            x = y;
            tu *= 2;
        }
        if (x != 1) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

int main(){
    ll m,n;
    srand((unsigned)time(NULL));
    scanf("%lld", &m);
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        scanf("%lld", &n);

        if (checkPrime(n)) {
            cout<<"Yes"<continue;
        }else{
            cout<<"No"<continue;
        }
    }

    return 0;
}

时间复杂度：S(logN)