卡特兰数及括号正确匹配个数问题解释

今天碰到这样一个问题：

 n对括号正确匹配组成的字符串数，例如

1对括号：()                                              1种可能

2对括号：()()                                            1种可能

 3对括号：((())) ()(()) ()()() (())() (()())       5种可能

那么问题：n对括号有多少种正确配对的可能？

网上搜索了下，原来是卡特兰数问题。

百度百科解释：卡特兰数又称卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名，其前几项为 : 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

公式：卡特兰数有固定的解法公式，以后碰到可以直接用公式来求解。（以下这4种计算等价）

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式  ：

公式1：h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)

例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2

h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

另类递推式：

公式2：h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

递推关系的解为：

公式3：h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

递推关系的另类解为：

公式4：h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,...)

常见卡特兰数应用：

（1）一个 栈 (无穷大)的 进栈 序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的 出栈 序列

（2）买票找零：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？

（3）

凸多边形三角划分：在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成了若干个三角形。任务是键盘上输入凸多边形的边数n，求不同划分的方案数f（n）。比如当n=6时，f（6）=14。

（4）道路选择问题：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

（5）长度为 2n的 Dyck words的数量。 Dyck words是由 n个 X和 n个 Y组成的字符串，并且从左往右数， Y的数量不超过 X。

（6） 拥有 n+1 个叶子节点的二叉树的数量。例如 4个叶子节点的所有二叉树形态：

（7）圆桌握手问题： 圆桌周围有 2n个人，他们两两握手，但没有交叉的方案数。

（8）本文的“n对括号正确匹配组成的字符串数”问题。

虽然同属于卡特兰数问题，但是用同样的方法解释似乎行不通（看百度百科上的解释：关于出栈的问题。还是比较容易理解的，但是我却不能通过它理解本题）

最后发现是《编程之美2》这本书上的原题。其解释如下：

分析

    “卡特兰数”除了可以使用公式计算，也可以采用“分级排列法”来求解。以 n对括弧的合法匹配为例，对于一个序列 (()而言，有两个左括弧，和一个右括弧，可以看成“抵消了一对括弧，还剩下一个左括弧等待抵消”，那么说明还可以在末尾增加一个右括弧，或者一个左括弧，没有左括弧剩余的时候，不能添加右括弧。

    由此，问题可以理解为，总共 2n个括弧，求 1～2n级的情况，第 i 级保存所有剩余 i 个左括号的排列方案数。 1～8级的计算过程如下表：

（这里，我搞了很久才折腾明白，行1-8表示级数--括弧个数，列0-8表示不完整匹配左括号个数。红色为博主解释，其他为原文）

比如：1级： 只有一个，只能是左括号(。右括号不能先出现啊。

                      不完整左括号个数为  1个。                      (

             2级：由1级的左括号(，如果给它右括号，则完整匹配；此时不完整匹配左括号个数为0，因此在0这一列下为1；

                                                      如果给再给它左括号，则不完整匹配左括号个数为2，只有一种情况： ((         个数为1

                                                      不完整匹配左括号个数为1这种情况不存在！！！因此不填。

             3级：一定是不完整的，所以不完整匹配左括号个数为0 的下方  空缺；

                       由2级可知，原来有完整匹配 1个”()"，   现在又增加了1个括弧，那么只能又出现了一个不完整匹配左括号

                                            原来有不完整匹配左括号2个“(("，现在如果增加一个右括号，则不完整匹配左括号个数为1的情况+1

                                                                                                              如果增加一个左括号，则不完整匹配左括号个数为3的情况+1

       现在明白为什么下一级的个数为上一级相邻两边相加。比如3级 1列（0列起始）下=2级0列+2级2列。

依次类推：

        4级：原来3级中有2个不完整1次括弧，那么4级中就有   完整匹配    2次。

                 4级中不完整2次括弧=3级的不完整1次+3级的不完整3次。

                4级的不完整4次括弧 只能是"(((("全左括号，所以每行最后一个数字为1，表示全左括号。

over

    计算过程解释如下： 1级:只能放 1个“(”； 2级:可以在一级末尾增加一个“）”或者一个“ (”

以后每级计算时，如果遇到剩余 n>0个“(”的方案，可以在末尾增加一个“ (”或者“ )”进入下一级；遇到剩余 n=0个“(”的方案，可以在末尾增加一个“ (”进入下一级。

奇数级只能包含剩余奇数个“（”的排列方案

偶数级只能包含剩余偶数个“（”的排列方案

从表中可以看出，灰色部分可以不用计算。

解法

关键代码为：

double Catalan(int n) { if (n == 0) return 1; for (int i = 2; i <= 2 * n; i++) { var m = i <= n ? i : 2 * n + 1 - i; for (int j = (i - 1) & 1; j <= m; j += 2) { if (j > 0) arr[j - 1] += arr[j]; if (j < n) arr[j + 1] += arr[j]; arr[j] = 0; } } return arr[0]; }

 

其中：

n为 Cn中的 n；

arr = new double[n + 1];//arr[i]代表有 k个括弧的时候，剩余 "("个数为 i的排列方案个数 arr[1] = 1;

 

讨论

算法复杂度为  = O(n^2)，空间复杂度为 O(n+1)。相对于利用公式计算而言，此方法的优势在于——没有乘除法，只有加法。