快速幂，a^b mod c

快速幂核心

a^b mod c=(a^2)^(b/2) mod c  (b为偶数)；

a^b mod c=((a^2)^(b div 2)*a) mod c (b为奇数)

 

以一道题为例，讲解快速幂算法。

 

题目：计算a^b mod c

 

朴素算法：直接计算求值。

var a,b,c,i,ans:longint;

begin

  readln(a,b,c);

 ans:=1;

  fori:=1 to b do

   ans:=ans*a;

 ans:=ans mod c;

 writeln(ans);

end.

 

以上算法有一个缺点：当a，b很大时，容易超出longint范围。

 

 

 

因为a^b mod c=(a mod c)^b mod c

得出改进型算法：在计算过程中不断进行mod运算

var a,b,c,i,ans:longint;

begin

 readln(a,b,c);

 a:=a mod c;

 ans:=1;

  fori:=1 to b do

   ans:=(ans*a) mod c;

 ans:=ans mod c;

 writeln(ans);

end.

时间复杂度：O(n)

这种算法也有一定缺陷：当c很大时，容易超时。

 

 

 

因为a^b mod c=(a^2)^(b/2) mod c  (b为偶数)；

a^b mod c=((a^2)^(b div 2)*a) mod c (b为奇数)

   所以可以在计算过程中不断地将底数平方、指数除以2，用另一个变量记录最终答案。

   得到快速幂算法：

var a,b,c,ans:int64;

begin

readln(a,b,c);

write(a,'^',b,' mod ',c,'=');

a:=a mod c;

ans:=1;

while b>0 do

    begin

    if bmod 2=1 then ans:=ans*a mod c;

    b:=bdiv 2;

    a:=(a*a)mod c;

end;

writeln(ans);

end.

时间复杂度：O(log2n),能在竞赛通过几乎全部的数据，是目前最常用的算法之一。

 

 
 
import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;
public class Main {
	public static BigInteger result(BigInteger x,BigInteger y,BigInteger z)//快速幂
	{
		BigInteger sum=BigInteger.ONE;
		while(y.compareTo(BigInteger.ZERO)==1)
		{
			if(y.mod(BigInteger.valueOf(2)).compareTo(BigInteger.ONE)==0)
			{
				sum=sum.multiply(x);
				sum=sum.mod(z);
			}
			y=y.divide(BigInteger.valueOf(2));
			x=x.multiply(x);
			x=x.mod(z);
		}
		return sum;
	}
	public static void main(String[] args) {
		Scanner scanner=new Scanner(System.in);
		int cases=scanner.nextInt();
		while(cases--!=0)
		{
			BigInteger a,b,c;
			a=scanner.nextBigInteger();
			b=scanner.nextBigInteger();
			c=scanner.nextBigInteger();
			System.out.println(result(a,b,c));
		}
	}
}