图相关（二）图的邻接矩阵表示（C++）及最短路径算法

一.Dijikstra算法

注意：计算最短路径时，需要把邻接矩阵中没有边的位置初始化为无穷大；此处以INF表示，INF可以取0x3f3f3f3f，不能直接设为INT_MAX（因为做加法时会上溢）。

测试用图：

其邻接矩阵表示为：

vector> test_graph(7, vector(7, INF));

	test_graph[0][1] = 20;
	test_graph[0][2] = 50;
	test_graph[0][3] = 30;

	test_graph[1][2] = 25;
	test_graph[1][5] = 70;

	test_graph[2][3] = 40;
	test_graph[2][4] = 25;
	test_graph[2][5] = 50;

	test_graph[3][4] = 55;

	test_graph[4][5] = 10;
	test_graph[4][6] = 70;

	test_graph[5][6] = 50;

 其中INF为：

const int INF = 0x3f3f3f;//不能取得太大（dijikstra中会用到，其余情况没边用0表示即可）

代码：

//pre记录前缀
 
const int INF = 0x3f3f3f;//不能取得太大（dijikstra中会用到，其余情况没边用0表示即可）
void dijkstra(graph g, vector& lowcost, vector& pre, int beg) {//第二、三个参数为传出参数，分别表示从源节点beg,到所有节点的最短路路径
    size_t N = g.cost.size();
    vector visited(N, false);
    for (size_t i = 0;i < N;++i) {//初始化lowcost和pre
        lowcost[i] = INF;
        pre[i] = -1;
    }
 
    lowcost[beg] = 0;//出发点到自己的最短路径是0
 
    for (size_t i = 0;i < N;++i) {
        int newNode = -1;//下一个要被选中的点的编号, 初始化为 - 1
        int MinWeight=INF;//与当前节点相邻的边的最小权值
//第一个for，遍历所有的未被访问过的节点，选中间点（已选节点之外的离出发点距离最短的点）
        for (size_t j = 0;j < N;++j) {
            if (!visited[j] && lowcost[j] < MinWeight) {
                MinWeight = lowcost[j];
                newNode = j;
            }
        }
        if(-1==newNode)
            break;//图不连通时，退出
        visited[newNode] = true;//将中间点标记为已访问状态
        for (size_t j = 0;j < N;++j) {
            if (!visited[j] && lowcost[newNode] + g.cost[newNode][j] < lowcost[j]){
                lowcost[j] = lowcost[newNode] + g.cost[newNode][j];
                pre[j] = newNode;
            }
        }
    }
}

步骤：

1.初始化时，将出发点到自己的最短路径置为0，其余置为无穷

2.对于出发点以外的点（即上面第二个for中所选的点j），考察从出发点直接到它的距离d1=lowcost[j]和先经过一个第一个for所选的中间点（newNode）才到j的距离d2=lowcost[newNode] + g.cost[newNode][j];

3.如果经由中间点然后访问点j的距离比直接访问j的距离短，即步骤2中的d2

 

测试部分：

graph g;
    g.cost = test_graph;
    g.vertex = { "v1","v2","v3","v4","v5","v6","v7" };
    vector lowcost(7, 0);
    vector pre(7, 0);
    dijkstra(g, lowcost, pre, 0);
    cout << "从v1其它节点的最短距离分别是: " << endl;
    for (size_t i = 0;i < g.vertex.size();++i) {
        cout << g.vertex[i] << ";" << lowcost[i] <<"  " ;
    }
    cout << endl;
    cout << endl;
    cout << "每个节点的前驱是： " << endl;
    for (size_t i = 0;i < g.vertex.size();++i) {
        cout << g.vertex[i] << "的前驱是： " << ((pre[i] == -1) ? "null" :g.vertex[pre[i]]) << endl;;
    }

测试结果：