中国剩余定理和EXCRT

中国剩余定理

有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

求满足以下条件的整数：除以3余2，除以5余3，除以7余2。
该问题最早见于《孙子算经》中，并有该问题的具体解法。
宋朝数学家秦九韶于 1247 年《数书九章》卷一、二《大衍类》对「物不知数」问题做出了完整系统的解答。

上面具体问题的解答口诀由明朝数学家程大位在《算法统宗》中给出：
三人同行七十希，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知。$2\times 70+3\times 21+2\times 15=233=2\times 105+23$，故答案为$23.$

问题1.计算一个整数$x$，使得它满足除以3余2，除以5余3、除以7余2。
如果能够找到三个整数$x_1,x_2,x_3$，使得：

$x_1$除以3余2、除以5余0、除以7余0；
$x_2$除以3余0、除以5余3、除以7余0；
$x_3$除以3余2、除以5余0、除以7余2；

仅$x=x_1+x_2+x_3$，就很容易验证$x$满足除以3余2，除以5余3、除以7余2.

对问题1-1继续分解，哪果能找到一个整数$y_1$使得$y_1$除以3余1，除以5余0、除以7余为0.
令$x_1=2\ast y_1$,$x_1$满足除以3余2，除以5余0，除以7为0.
简单证明：
由
$\{\begin{array}{l}{y}_1\equiv 0(mod35)\\ y_1\equiv 1(mod3)\end{array}$
可得到 $35y_1\equiv 1(mod3).$
由同余的性质【设c与m互素，则 a≡b(mod m)↔ca≡cb(mod m)】可得：
2与3互素，可以得到$35\cdot y_1\equiv 1(mod3)\leftrightarrow 35\cdot 2\cdot y_1\equiv 1\cdot 2(modm).$
$x_1=2y_1$得证。

如果求出$y_1$，那么就可以求出$x_1$，再以同样的方法求出$x_2,x_3$，那么$x$的值也就求出来了。

设$y_1$为除以3余1，除以5余0，除以7余0的解；
设$y_2$为除以3余0，除以5余1，除以7余0的解；
设$y_3$为除以3余0，除以5余0，除以7余1的解。

如果找到了$y_1,y_2,y_3$，那么$x=2\ast y_1+3\ast y_2+2\ast y_3.$

以求$y_1$为例，已知$y_1$除以3余1、除以5余0、除以7余0，那么$y_1$必然整除35，设$y_1=35k$
于是我们只需要求同余方程$35\cdot k\equiv 1(mod3)$的解，这是的$y_1$是$5\ast 7$ 模3的逆元，记作 $[35_{-1}{]}_3$.求解此同余方程的最小正整数解$k=2$.
解得：$y_1=35\cdot k=5\ast 7\ast [(5\ast 7{)}^{-1}{]}_3$

按照同样的方式求出 $y_2$和$y_3$：
$y_2=3\ast 7\ast [(3\ast 7{)}^{-1}{]}_5=3\ast 7\ast 1=21.$
$y3=3\ast 5\ast [(3\ast 5{)}^{-1}{]}_3=3\ast 5\ast 1=15.$

那么$x$的值为：
$x=2\ast (5\ast 7\ast [(5\ast 7{)}^{-1}{]}_3)+3\ast (3\ast 7\ast [(3\ast 7{)}^{-1}{]}_5)+2\ast (3\ast 5\ast [(3\ast 5{)}^{-1}{]}_3)$
$x=2\times 70+3\times 21+2\times 15=233.$
最后 ，注意到，如果 $x$满足除以3余2、除以5余3、除以7余2，那么 $x+105$也同样满足。

因此要计算满足要求的最小的非负整数，就只需要计算总和除以105的余数即可，即$x=23$，通解为$x\equiv 23(mod105).$

最后，我们再来总结一下中国剩余定理的定义：
假设整数$m_1,m_2,...,m_n$两两互素，则对于任意的整数$a_1,a_2,a_3,...,a_n$，方程组
$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(mod{m}_1)\\ x\equiv a_2(mod{m}_2)\\ ...\\ x\equiv a_n(mod{m}_n)\end{array}$
都存在整数解，且若$X,Y$都是该方程组的一个解，则有$X\equiv Y(modN)$，其中$$N=\prod _{i=1}^n{m}_i$$
$$x\equiv \sum _{i=1}^n{a}_i\times \frac{N}{mi}\times [(\frac{N}{m_i}{)}_{-1}{]}_{m_i}(modN)$$

说到这里，可能有的同学不明白为什么最后的解要和$N$取模且解在$[0,N)$的范围中是唯一的。
在这里，引用一下《数论概论》中关于中国剩余定理的证明，相信大家会明白的。

设$m$与$n$是整数，$gcd(m,n)=1$，$b$与$c$是任意整数，则同余式组
$\{\begin{array}{l}x\equiv b(modm)\\ x\equiv c(modn)\end{array}$
恰有一个解$x$,$x$的取值范围为$0⩽x<mn.$

证明：
$x\equiv b(modm)$的解$x$由$x=my+b$的所有数组成，将此代入第二个同余式，得：
$my-b\equiv c(modn)\to my\equiv c-b(modn)$

已知$gcd(m,n)=1$，根据线性同余定理可知同余式在$[0,n)$范围内恰有一个解$y_1$且$0\le y_1<n$。
当我们求出$y_1$的值，那么同余式方程组的解$x_1$的值为：
$x_1=m{y}_1+b$

因为在0与$n$之间有唯一解$y_1$，用$m$乘$y_1$得到了$x_1$，那么唯一解$x_1$的取值范围为$0\le x_1<mn.$
（注：$x_1$是由$m{y}_1+b$得到的，在计算$x_1$的取值范围时为什么把给$b$忽略掉了？这是因为$m{y}_1+b$关于模$m$和$b$同余，当$b$取正数时，可以取一个对应同余的负数，让$m{y}_1+b$的值始终处于$mn$之下 ）

对于一些简单的同余方程组，有了上述的定义之后，有的时候我们可以采用枚举的方式来计算同余组的解。
例.解下列同余方程组
$\{\begin{array}{l}x\equiv 2(mod3)\\ x\equiv 1(mod4)\end{array}$
解：
由上述的公式：$x_1=m{y}_1+b(0\le y_1<n)$可知，$m=3,b=2$，枚举$y_1$（$0\le y_1<4$）验证$x_1=3y_1+2$是否满足方程2。
当$y_1=0$时，$x_1\equiv 2(mod4).$
当$y_1=1$时，$x_1\equiv 1(mod4).$
当$y_1=2$时，$x_1\equiv 0(mod4).$
当$y_1=3$时，$x_1\equiv 3(mod4).$
根据上面的枚举过程，当$y_1=1$时满足方程2，$x_1=3+2=5$，即$x_1\equiv 5(mod12)$为同余组的解。

扩展中国剩余定理

如果同余方程组的$m$和$n$不互质怎么办呢？

定义： 同余方程组：
$\{\begin{array}{l}x\equiv b(modm)\\ x\equiv c(modn)\end{array}$
恰有一个解$0\le x<\frac{m\cdot n}{gcd(m,n)}$，即在范围$[0,lcm(m,n))$有唯一解。

我们按照同样的思路来证明这个过程：
$x\equiv b(modm)$的解$x$由$x=my+b$的所有数组成，将此代入第二个同余式，得：
$my-b\equiv c(modn)\to my\equiv c-b(modn)$

设$gcd(m,n)=d$,因为$d>1$，同余式$my\equiv c-b(modn)$有解的前提是$d|c-b.$
假如$my\equiv c-b(modn)$有解，则在范围$[0,n)$有$d$个不同余的解。（都是同余方程里面的性质，不清楚的重新学习同余方程的内容）

因此在范围$[0,\frac{n}{d})$中，有唯一解$y_1,(0\le y_1<\frac{n}{d})$.
又因为$x_1=m{y}_1+b$ ，那么唯一解$x_1$的取值范围为$0\le x_1<\frac{mn}{gcd(m,n)}$,即$0\le x_1<lcm(m,n).$证毕。

参考资料：
1.https://zhuanlan.zhihu.com/p/44591114
2.《数论概念第三版》