HNOI2012排队

排列组合题(本文A(n,m)表示从n个元素里选m个的排列数)。

首先,老师和女生有不能相邻的限制条件,应该用插空法。而且老师人数较少且固定,把老师和男生进行混合,对女生用插空。

我先来一手错误做法,n个男生先全排列A(n,n),两个老师插空A(n+1,2),m个女生插空A(n+3,m),乘到一起。ans=A(n,n)*A(n+1,2)*A(n+3,m)。试一下1,1;差了4。为什么呢?因为我们这种考虑方式忽略了只用一个女生将老师隔开的情况。

那这样就好说了,还是混合加插空,把老师和男生混在一起。

首先让两个老师站在一起2*A(n+1,n+1),然后让任意一个女生将其隔开2*m*A(n+1,n+1)。此时这个整合体与男生共有n+2个空,插入剩下的m-1个女生,总共2*m*A(n+1,n+1)*A(n+2,m-1)。

接着让两个老师不站在一起,有两种计算方式:

(1)老师和男生一共A(n+2,n+2)中排列方式,减去上面的站在一起的方式,总共A(n+2,n+2)-2*A(n+1,n+1)。

(2)男生全排列A(n,n),老师插n+1个空,总共A(n,n)*A(n+1,2)。

上述两种方法得到的结果用排列恒等式是很容易证明相等的,自己想一想。插个图片,想看的可以看看。

HNOI2012排队_第1张图片

剩下的女生插空A(n+3,m),总共A(n+3,m)*A(n,n)*A(n+1,2)。

两种情况加在一起就是答案。

这题高精没跑了,但是为了少打高精组件,尝试化简,可以用一用上面证明图中的内容。再来张图:

得到结论((n+3)*n+2*m)*A(n+1,n+1)*A(n+2,m-1)。这东西就完全可以高精乘低精搞定了(其实只是少了个高精加……)。

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int a[50000]={0,1},len=1;
void mult(int x){
    int res=0;
    for(int i=1;i<=len;i++){
        a[i]=a[i]*x+res;
        res=a[i]/10;
        a[i]%=10;
    }while(res){
        a[++len]=res%10;
        res/=10;
    }
}
void print(){
    for(int i=len;i>=1;i--)
        printf("%d",a[i]);
    return ;
}
int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n+1;i++)
        mult(i);
    for(int i=n+2;i>=n-m+4;i--)
        mult(i);
    mult(n*n+3*n+2*m);
    print();
    return 0;
}
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