整数拆分为连续自然数之和

2011-06-14 17:29:10

 

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问题描述：将一个正整数，拆分成连续的自然数之和，输出所有可能的情况

例如： 3 = 1+2

        10 = 1+2+3+4

        16 = 5+6+7

        ...

 

问题求解： 

连续的自然数之和让我们想到了等差数列求和公式：

 

_{其中Sum为要分解的正整数，n为连续自然数的个数，aFirst为连续自然数的第一位数}

_{将以上公式改写成另外一种格式}

_{求解得到连续自然数个数n：}

_{如果一个数可以分解为几个连续自然数之和，那么就意味着方程有解，那么对于相应的解就有如下限制，}

_{必须为平方数且开根号的结果必须为奇数}

_{需要注意一点的是：由于是连续自然数，所以首项aFirst必定不可能大于n/2，所以不需要从1-n遍历，只需要从1- n/2 遍历即可}

_{c++代码如下所示}

_{// partitionSum.cpp : Defines the entry point for the console application. // #include "stdafx.h" #include int main(int argc, char* argv[]) { // 等差数列求和公式 Sum = n*aFirst + n*(n-2)/2; // Sum 为要拆分的整数， // n 为拆分后连续自然数个数 // aFirst 为连续自然数中的第一位数 int Sum, aFirst; int i,j; int w,k,m; printf("请输入要分解的自然数Sum: "); scanf("%d",&Sum); printf("/n"); for(i = 1; i <= Sum/2; i++) //由于是连续自然数，所以首项必定不可能大于n/2 { aFirst = i; w = (2*aFirst-1) * (2*aFirst-1) + 8*Sum; k = (int)sqrt(w); m = k - 2*aFirst + 1; if(k*k != w) // k是一个平方数 continue; else if(m %2 !=0) // m必须为偶数 continue; else { printf("可以分解%d个连续自然数：/n",m/2); for(j=1;j<=m/2;j++) printf("%d ",i+j-1); printf("/n/n"); } } return 0; }}

_{结果如下图所示：}