Richardson-Lucy 非盲去模糊算法

相关论文：2011-PAMI - Richardson-Lucy Deblurring for Scenes under a Projective Motion Path

空间均匀的运动模糊表示如下：
$$B=k\otimes I$$
B为模糊图像，I为清晰图像，k为模糊核。

RL算法假设 $P(B|k,I)$满足Poisson分布（传送门：如何通俗理解泊松分布）:

$$P(X=x)=\frac{{\lambda }^x}{x!}{e}^{-\lambda }$$
其中均值$\lambda =k\otimes I$，即：
$$P(B|k,I)=\frac{(k\otimes I{)}^B}{B!}{e}^{-(k\otimes I)}$$

目标是最大化概率 $P(B|k,I)$，通过$-\log$转化成下面的能量最小化问题：
$$\begin{array}{rl}J=E(I;B,k)=& -\log \left(\frac{(k\otimes I{)}^B}{B!}{e}^{-(k\otimes I)}\right)\\ =& -\log \left(\frac{(k\otimes I{)}^B}{B!}\right)-\log e^{-(k\otimes I)}\\ =& -B\log (k\otimes I)+k\otimes I+\log B!\\ \propto & -B\log (k\otimes I)+k\otimes I\end{array}$$
因为$J$是一个凸函数，最小值即$\nabla J=0$：
$$\frac{\partial J}{\partial I}\propto -\frac{B}{k\otimes I}\otimes \tilde{k}+1\otimes \tilde{k}=0$$
其中$\tilde{k}$为$k$水平翻转180°, 因为${\sum }_i{k}_i=1$，所以$1\otimes \tilde{k}=1$，得：
$$1=\frac{B}{k\otimes I}\otimes \tilde{k}$$
由于损失函数$J$是凸函数，每次迭代后损失都会减小，当收敛时，恢复出的图像基本不会改变了——意味着在收敛时$I_{t+1}$实际上应该等于$I_t$，即：
$$\frac{I_{t+1}}{I_t}=1=\frac{B}{k\otimes I}\otimes \tilde{k}$$
$$I_{t+1}=I_t\odot \tilde{k}\otimes \frac{B}{k\otimes I}=I_t\odot \frac{\tilde{k}\otimes B}{\tilde{k}\otimes k\otimes I}$$
其中$\odot$为对应元素相乘，分数线也是对应元素相除。类似梯度下降法，不过这里是乘法更新，$I_0$可以初始化成随机值（或者中灰色图像，或者模糊图像），迭代直到$I_t$不在变化。
参考：https://www.strollswithmydog.com/richardson-lucy-algorithm/