数字图像处理成长之路10：理解直方图均衡化，从现象到原理

直方图均衡化是一种数字图像处理技术，先来看看一张图片。

这张图片我称为原图，该图下面区域有些曝光不足，看上去比较暗。
再来看另一张图。

这张图片我称之为目标图，比原图显得清晰，黑白较均匀，让人眼更容易接受。

这张比较清晰的目标图是原图经过直方图均衡化处理后得到的。

什么是直方图均衡化？首先来看看什么是直方图。

百度百科：
https://baike.baidu.com/item/%E7%9B%B4%E6%96%B9%E5%9B%BE/1103834?fr=aladdin
维基百科：
https://en.wikipedia.org/wiki/Histogram

看一下原图的直方图：

横坐标表示该灰度图每个像素的灰度的取值范围，在这里是0-255，0表示最暗，255表示最亮，纵坐标表示这幅图中某一灰度出现的次数。
在观察该直方图会发现，亮度较多的集中在灰度20-70区域，较少集中在190-220区域，因此该原图在整体上较暗，在局部上非暗即亮。这就仿佛一道菜，在口感上非咸即甜，非软即硬，缺乏过度和层次。

再看一下目标图直方图：

对比两个直方图发现目标直方图有几个特点：
1)像素的亮度分布范围比原图更宽了(层次多，均)。
2)不同像素的亮度出现的次数之间的差值缩小了，也就是不再非黑即白，像素在其他灰度出现的次数增多了，图中它们的高度差不多(层次分明，衡)。
3)从整体上看，如果把直方图的顶点连成一条曲线，则两个直方图的曲线大致有相似性，不会相差太大。两个直方图都出现了一个最高的值，这两个值是什么关系呢？

通过上面的总结我们说说什么是均衡化。均者，匀也，使像素的灰度均匀的分布在每处或每段灰度区域上（通俗的说就是过年了，社会主义给老百姓每家或每个家族都发豆腐，一家也不落下）。衡者，平也，尽可能使像素在每个灰度级上出现的次数一样多(每家或每个家族发的豆腐块数一样多)。

这就是直方图均衡化的意义。在音频处理中的均衡器也大致是这个意思。

接下来看看较官方的对直方图均衡化的解释
百度百科：
https://baike.baidu.com/item/%E7%9B%B4%E6%96%B9%E5%9B%BE%E5%9D%87%E8%A1%A1%E5%8C%96/7773653?fr=aladdin
维基百科：
https://en.wikipedia.org/wiki/Histogram_equalization
这两个百科说的比较清楚，讲的原理比较多，要想看懂需要一些高等数学的知识，好像学工科的人更喜欢实践，对抽象的数学比较惧怕，为了弄懂直方图均衡化，我重学了一部分数学，总算大致弄明白了。

下面从数学角度分析一下直方图均衡化：

S事件是一张图片中的某像素的灰度值(通常值在0与255之间)在该图上出现的次数，则离散型随机变量s的(概率)分布律为{pi}。

分布律表格为：

S的分布函数(累积概率函数，CDF)为：
, s = 0,1,2,…255

来看看原图的分布函数图像：

再来看看目标图像的分布函数图像：

目标图像的分布函数是我们期望得到的，因为具有这样分布函数的图像不会过暗和过量，那么原图经过怎样的处理才能符合目标图像的特征呢？

设原图像像素灰度s与目标图像该点灰度d存在映射关系：

则：

，
分别是目标图像好原图像的分布函数，根据概率论知识，则：

两边对d求导，结合连续型随机变量的函数的概率分布定理1及复合函数的求导法则有：

又s d互为反函数，根据反函数的求导法则，所以上式变为：

根据文章开头分析，

则：

也就是
根据以上分析得出直方图均衡化的计算步骤如下：
1)计算原图像的直方图
2)根据直方图计算各灰度出现的概率
3)计算原图象的关于各个灰度级的累积分布函数
4)通过原图某像素的灰度，找到对应的该灰度的累积概率，然后乘以255。

现在我们来回答上面曾提到的问题，均衡前后直方图中那个最高点的值一样吗？答案是：不一定。在理论上他们相等，但实际上计算过程中会出现小数点，计算机根据四舍五入把它归到临近的灰度级。

至于程序，网上opencv和matlab有很多例子可以参考。

注：以上数学分析并不严谨，毕竟数学不是我强项，但整体思路应该是可以。