最短路径算法

基本原理：

假定结点集V为{1,2..n}，对于 (i, j) 这条路，我们考虑它中途经过一些结点的所有情况（这些结点都取自集合{1,2,..k}），然后定义路径p为所有情况里的最短路径（即我们要找的答案路径）。那么关于k的p的关系有两种：

1. k不在 最短路径p 里，即p里的点都是{1,2,..k-1}的点，则显然(i, j)经过{1,2,..k}的最短路 和 经过{1,2,..k-1}的最短路是一样的。
2. k在 最短路径p 里，则p里的点都是{1,2,..k}的点，那我们可以把p分为(i,k)和(k,j)，这两条分出来路径的只含{1,2,..k-1}，因为p是最短路径，而k又在p里，所以(i,k)和(k,j)都是相对于(i,j)的最短路径 【此处算导没给证明，我们先假定自己认可这个结论】

根据上面的两种情况我们就可以得出递推式子

d(k)ij={wijifk=0min(d(k−1)ij,d(k−1)ik+d(k−1)kj)ifk≥1

注意k是集合大小，不是经过的点个数，k=0的时候是不经过任何中间点的情况，k>=1表示经过{1,2..k}这个集合里的点集。没看懂式子的话再看下那两种情况，看懂的话我们发现需要三维数组才能表示这种d(k)ij

，但在式子中我们的(k)其实只用在递推上，所以在上面代码中我们把k循环放在最外面就可以确保在计算d(k)ij 前 dp[i][j]存的是d(k−1)ij，同理 d(k−1)ik 和d(k−1)ik 也是一样。这点也就类似背包的二维压成一维。

1.DP实现

void floyd() {
    for (int k = 1; k <= n; ++k) {
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j]);
            }
        }
    }
}