第七题 螺旋矩阵（模拟题）
问题描述
对于一个nn 行 mm 列的表格，我们可以使用螺旋的方式给表格依次填上正整数，我们称填好的表格为一个螺旋矩阵。
例如，一个 44 行 55 列的螺旋矩阵如下：
1 2 3 4 5
14 15 16 17 6
13 20 19 18 7
12 11 10 9 8
输入格式
输入的第一行包含两个整数 n, mn,m，分别表示螺旋矩阵的行数和列数。
第二行包含两个整数 r, cr,c，表示要求的行号和列号。
输出格式
输出一个整数，表示螺旋矩阵中第 rr 行第 cc 列的元素的值。
样例输入
4 5
2 2
样例输出
15
评测用例规模与约定
对于 30% 的评测用例，2 <= n, m <= 20。
对于 70% 的评测用例，2 <= n, m <= 100。
对于所有评测用例，2 <= n, m <= 1000，1 <= r <= n，1 <= c <= m。
思路：
创建一个二维螺旋矩阵找对应点。 QAQ 没有什么算法思想 就简简单单老老实实创建矩阵叭
python代码实现 （小洪四个循环丑陋版）
import sys
n, m = map(int,input().split())
r, c = map(int,input().split())
chess = [[0 for i in range(m)] for j in range(n)]
num = 1
t = 0
while True:
for i in range(t,m-t):
chess[t][i] = num
num += 1
if num == n*m+1 or t == r-1 and i == c-1:
print(chess[r-1][c-1])
sys.exit(0)
for j in range(t+1,n-t):
chess[j][m-t-1] = num
num += 1
if num == n*m+1 or j == r-1 and m-t-1 == c-1:
print(chess[r-1][c-1])
sys.exit(0)
for k in range(i-1,t-1,-1):
chess[n-1-t][k] = num
num += 1
if num == n*m+1 or n-1-t == r-1 and k == c-1:
print(chess[r-1][c-1])
sys.exit(0)
for l in range(j-1,t,-1):
chess[l][t] = num
num += 1
if num == n*m+1 or l == r-1 and t == c-1 :
print(chess[r-1][c-1])
sys.exit(0)
t += 1第八题 摆动序列 （DP）
Problem Description
如果一个序列的奇数项都比前一项大，偶数项都比前一项小，则称为一个摆动序列。
即 $a_{2i} < a_{2i-1}, a_{2i+1} > a_{2i}$
小明想知道，长度为 m，每个数都是 1 到 n 之间的正整数的摆动序列一共有多少个。
Input && Output
输入一行包含两个整数 m，n。
输出一个整数，表示答案。答案可能很大，请输出答案除以10000的余数。
Sample Input && Output
Inout
3 4
Output
14
Ideas
挺好的一道基础dp，po一张图解释一下测试用例是怎么出来的你们就懂了
从后往前推比较好推，
dp[i][j]讨论倒数第i位数字是j的时候，有几种情况。
第一层数组全为1，后面每一层根据层数的奇&偶分别求上一层的前缀&后缀和，最后一层的和即为所求
# 状态转移方程 分奇&偶
arr[i][j] = arr[i][j + 1] + arr[i + 1][j + 1]
arr[i][j] = arr[i][j - 1] + arr[i + 1][j - 1]记得时刻处理一下求余，python虽然不存在爆int问题，但是会MLE（血的教训QAQ）
Code
if __name__ == "__main__":
m, n = map(int, input().split())
arr = [[0 for i in range(n + 2)] for j in range(m + 1)]
for i in range(1, n + 1):
arr[m][i] = 1
for i in range(m - 1, 0, -1):
if i % 2 == 0:
for j in range(n, 0, -1):
arr[i][j] = (arr[i][j + 1] + arr[i + 1][j + 1]) % 10000
else:
for j in range(1, n + 1):
arr[i][j] = (arr[i][j - 1] + arr[i + 1][j - 1]) % 10000
ans = 0
for i in range(1, n + 1):
ans += arr[1][i] % 10000
print(ans % 10000)第九题 村庄建设（最小生成树）
问题描述
2015年，全中国实现了户户通电。作为一名电力建设者，小明正在帮助一带一路上的国家通电。
这一次，小明要帮助 n 个村庄通电，其中 1 号村庄正好可以建立一个发电站，所发的电足够所有村庄使用。
现在，这 n 个村庄之间都没有电线相连，小明主要要做的是架设电线连接这些村庄，使得所有村庄都直接或间接的与发电站相通。
小明测量了所有村庄的位置（坐标）和高度，如果要连接两个村庄，小明需要花费两个村庄之间的坐标距离加上高度差的平方，形式化描述为坐标为 (x_1, y_1) 高度为 h_1 的村庄与坐标为 (x_2, y_2) 高度为 h_2 的村庄之间连接的费用为
sqrt((x_1-x_2)(x_1-x_2)+(y_1-y_2)(y_1-y_2))+(h_1-h_2)*(h_1-h_2)。
在上式中 sqrt 表示取括号内的平方根。请注意括号的位置，高度的计算方式与横纵坐标的计算方式不同。
由于经费有限，请帮助小明计算他至少要花费多少费用才能使这 n 个村庄都通电。
输入格式
输入的第一行包含一个整数 n ，表示村庄的数量。
接下来 n 行，每个三个整数 x, y, h，分别表示一个村庄的横、纵坐标和高度，其中第一个村庄可以建立发电站。
输出格式
输出一行，包含一个实数，四舍五入保留 2 位小数，表示答案。
样例输入
4
1 1 3
9 9 7
8 8 6
4 5 4
样例输出
17.41
评测用例规模与约定
对于 30% 的评测用例，1 <= n <= 10；
对于 60% 的评测用例，1 <= n <= 100；
对于所有评测用例，1 <= n <= 1000，0 <= x, y, h <= 10000。
解法一：Kruskal算法 （贪心+并查集）
思路：
(1) 从最小边权的边开始，按边权从小到大依次加入，如果某次加边产生了环，就扔掉这条边，直到加入了n-1条边，即形成了一棵树。
(2) 开一个列表inf[ ]，按各边代价从小到大排序存储信息。例：（point1,point2,cost）
(3) 循环判断此边是否与树连通，若连通，放弃此边；若不连通，将此边与树相连，记录相应代价。
(4) 连通判断方法：采用并查集算法，开一个列表fa[ ],下标为子节点，对应存储其父节点。例：fa[2]=1 节点2的父节点为1
(5) 此题可直接用fa[ ]列表存储各点的祖先节点，相同祖先节点的点说明其在同一颗树下。
python代码实现
import math
def find(x):
if x != fa[x]:
fa[x] = find(fa[x])
return fa[x]
def unionset(x,y):
x = find(x)
y = find(y)
if x == y:
return
fa[y] = x
n = int(input())
point = []
inf = []
fa = [i for i in range(n+1)]
ans = 0
for i in range(n):
point.append(list(map(int,input().split())))
for i in range(n):
for j in range(i+1,n):
point1 = i+1
point2 = j+1
cost = math.sqrt((point[i][0]-point[j][0])**2+(point[i][1]-point[j][1])**2)+(point[i][2]-point[j][2])**2
inf.append((point1,point2,cost))
inf = sorted(inf,key = lambda x:x[2])
for i in range(len(inf)):
if find(inf[i][0]) != find(inf[i][1]):
ans += inf[i][2]
unionset(inf[i][0],inf[i][1])
print('%.2f'%ans)第十题 郊外植树 （DFS）
问题描述
小明和朋友们一起去郊外植树，他们带了一些在自己实验室精心研究出的小树苗。
小明和朋友们一共有 nn 个人，他们经过精心挑选，在一块空地上每个人挑选了一个适合植树的位置，总共 nn个。他们准备把自己带的树苗都植下去。
然而，他们遇到了一个困难：有的树苗比较大，而有的位置挨太近，导致两棵树植下去后会撞在一起。
他们将树看成一个圆，圆心在他们找的位置上。如果两棵树对应的圆相交，这两棵树就不适合同时植下（相切不受影响），称为两棵树冲突。
小明和朋友们决定先合计合计，只将其中的一部分树植下去，保证没有互相冲突的树。他们同时希望这些树所能覆盖的面积和（圆面积和）最大。
输入格式
输入的第一行包含一个整数 nn ，表示人数，即准备植树的位置数。
接下来 nn行，每行三个整数 x, y, rx,y,r，表示一棵树在空地上的横、纵坐标和半径。
输出格式
输出一行包含一个整数，表示在不冲突下可以植树的面积和。由于每棵树的面积都是圆周率的整数倍，请输出答案除以圆周率后的值（应当是一个整数）。
样例输入
6
1 1 2
1 4 2
1 7 2
4 1 2
4 4 2
4 7 2
样例输出
12
评测用例规模与约定
对于 30% 的评测用例，1 <= n <= 10；
对于 60% 的评测用例，1 <= n <= 20；
对于所有评测用例，1 <= n <= 30，0 <= x, y <= 1000，1 <= r <= 1000。
思路：
这是一道经典的搜索问题，遍历不同的种树组合，找出面积最大的组合即可。
(1) 爆搜一般都是用递归完成，每次递归选取一个可行解，若找到可行解，继续下一层递归；无可行解，回溯上一层递归。
(2) 在递归中，为了减少不必要的搜索浪费，我们需要开几个标签进行判断。
tree[ ] 记录已经种下的树组合 v[i] 记录第几课树是否种下
(3) 变量idx记录种树次数，变量i记录树的标号。
(4) 此题小技巧：当idx种树次数与n棵树相同时，即取得最大种树组合，可直接结束递归。
python代码实现
import math
import sys
def dfs(idx):
global ans
global ans1
for i in range(n):
if not v[i]:
if not tree:
tree.append(i)
v[i] = True
ans += inf[i][2]**2
dfs(idx+1)
v[i] = False
ans -= inf[i][2]**2
tree.remove(tree[-1])
else:
flag = 1
for j in tree:
l = math.sqrt((inf[i][0]-inf[j][0])**2+(inf[i][1]-inf[j][1])**2)
if l < inf[i][2]+inf[j][2]:
flag = 0
if flag:
tree.append(i)
v[i] = True
ans += inf[i][2]**2
dfs(idx+1)
v[i] = False
ans -= inf[i][2]**2
tree.remove(tree[-1])
if ans >= ans1:
ans1 = ans
if idx == n-1:
print(ans1)
sys.exit(0)
return
n = int(input())
inf = []
tree = []
ans = 0
ans1 = 0
v = [False for i in range(n)]
for i in range(n):
inf.append(list(map(int,input().split())))
dfs(0)
print(ans1)