KSum问题
(中文旧版)前言:做过leetcode的人都知道,里面有2sum, 3sum(closest), 4sum等问题,这些也是面试里面经典的问题,考察是否能够合理利用排序这个性质,一步一步得到高效的算法.经过总结,本人觉得这些问题都可以使用一个通用的K sum求和问题加以概括消化,这里我们先直接给出K Sum的问题描述和算法(递归解法),然后将这个一般性的方法套用到具体的K,比如leetcode中的2Sum, 3Sum, 4Sum问题.同时我们也给出另一种哈希算法的讨论.
leetcode求和问题描述(K sum problem)：
K sum的求和问题一般是这样子描述的：给你一组N个数字(比如vector num), 然后给你一个常数(比如int target) ，我们的goal是在这一堆数里面找到K个数字，使得这K个数字的和等于target。
注意事项(constraints):
注意这一组数字可能有重复项：比如 1 1 2 3 , 求3sum,然后 target = 6,你搜的时候可能会得到 两组1 2 3, 1 2 3，1来自第一个1或者第二个1,但是结果其实只有一组，所以最后结果要去重。
K Sum求解方法,适用leetcode 2Sum, 3Sum, 4Sum：
方法一： 暴力，就是枚举所有的K-subset,那么这样的复杂度就是 从N选出K个，复杂度是O(N^K)
方法二： 排序，这个算法可以考虑最简单的case, 2sum，这是个经典问题，方法就是先排序，然后利用头尾指针找到两个数使得他们的和等于target,这个2sum算法网上一搜就有，这里不赘述了，给出2sum的核心代码：
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 |
//2 sumint i = starting; //头指针int j = num.size() - 1; //尾指针while(i < j) { int sum = num[i] + num[j]; if(sum == target) { store num[i] and num[j] somewhere; if(we need only one such pair of numbers) break; otherwise do ++i, --j; } else if(sum < target) ++i; else --j;} |
2sum的算法复杂度是O(N log N)因为排序用了N log N以及头尾指针的搜索是线性的，所以总体是O(N log N)，好了现在考虑3sum,有了2sum其实3sum就不难了，这样想：先取出一个数，那么我只要在剩下的数字里面找到两个数字使得他们的和等于(target – 那个取出的数)就可以了吧。所以3sum就退化成了2sum,取出一个数字，这样的数字有N个，所以3sum的算法复杂度就是O(N^2 ), 注意这里复杂度是N平方，因为你排序只需要排一次，后面的工作都是取出一个数字，然后找剩下的两个数字，找两个数字是2sum用头尾指针线性扫，这里很容易错误的将复杂度算成O(N^2 log N)，这个是不对的。我们继续的话4sum也就可以退化成3sum问题(copyright @sigmainfy)，那么以此类推，K-sum一步一步退化，最后也就是解决一个2sum的问题，K sum的复杂度是O(n^(K-1))。 这个界好像是最好的界了，也就是K-sum问题最好也就能做到O(n^(K-1))复杂度，之前有看到过有人说可以严格数学证明，这里就不深入研究了。
更新: 感谢网友Hatch提供他的K Sum源代码,经供参考:
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 |
class Solution {public: vector< vector > findZeroSumInSortedArr(vector &num, int begin, int count, int target) { vector ret; vector tuple; set visited; if (count == 2) { int i = begin, j = num.size()-1; while (i < j) { int sum = num[i] + num[j]; if (sum == target && visited.find(num[i]) == visited.end()) { tuple.clear(); visited.insert(num[i]); visited.insert(num[j]); tuple.push_back(num[i]); tuple.push_back(num[j]); ret.push_back(tuple); i++; j–; } else if (sum < target) { i++; } else { j–; } } } else { for (int i=begin; i { if (visited.find(num[i]) == visited.end()) { visited.insert(num[i]); vector subRet = findZeroSumInSortedArr(num, i+1, count-1, target-num[i]); if (!subRet.empty()) { for (int j=0; j { subRet[j].insert(subRet[j].begin(), num[i]); } ret.insert(ret.end(), subRet.begin(), subRet.end()); } } } } return ret; } vector threeSum(vector &num) { sort(num.begin(), num.end()); return findZeroSumInSortedArr(num, 0, 3, 0); } vector fourSum(vector &num, int target) { sort(num.begin(), num.end()); return findZeroSumInSortedArr(num, 0, 4, target); }}; |
K Sum (2Sum, 3Sum, 4Sum) 算法优化(Optimization)：
这里讲两点，第一，注意比如3sum的时候，先整体排一次序，然后枚举第三个数字的时候不需要重复， 比如排好序以后的数字是a b c d e f, 那么第一次枚举a,在剩下的b c d e f中进行2 sum,完了以后第二次枚举b,只需要在 c d e f中进行2sum好了，而不是在a c d e f中进行2sum,这个大家可以自己体会一下，想通了还是挺有帮助的。第二，K Sum可以写一个递归程序很优雅的解决，具体大家可以自己试一试。写递归的时候注意不要重复排序就行了。
K Sum (2Sum, 3Sum, 4Sum) 算法之3sum源代码(不使用std::set)和相关开放问题讨论：
因为已经收到好几个网友的邮件需要3sum的源代码,那么还是贴一下吧,下面的代码是可以通过leetcode OJ的代码(又重新写了一遍,于Jan, 11, 2014 Accepted),就当是K sum的完整的一个case study吧,顺便解释一下上面的排序这个注意点,同时我也有关于结果去重的问题可以和大家讨论一下,也请大家集思广益,发表意见,首先看源代码如下：
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 |
class Solution {public: vector threeSum(vector &num) { vector vecResult; if(num.size() < 3) return vecResult;
vector vecTriple(3, 0); sort(num.begin(), num.end()); int iCurrentValue = num[0]; int iCount = num.size() - 2; // (1) trick 1 for(int i = 0; i < iCount; ++i) { if(i && num[i] == iCurrentValue) { // (2) trick 2: trying to avoid repeating triples continue; } // do 2 sum vecTriple[0] = num[i]; int j = i + 1; int k = num.size() - 1; while(j < k) { int iSum = num[j] + num[k]; if(iSum + vecTriple[0] == 0) { vecTriple[1] = num[j]; vecTriple[2] = num[k]; vecResult.push_back(vecTriple); // copy constructor ++j; --k; } else if(iSum + vecTriple[0] < 0) ++j; else --k; } iCurrentValue = num[i]; } // trick 3: indeed remove all repeated triplets // trick 4: already sorted, no need to sort the triplets at all, think about why? vector< vector >::iterator it = unique(vecResult.begin(), vecResult.end()); vecResult.resize( distance(vecResult.begin(), it) ); return vecResult; }}; |
首先呢, 在K Sum问题中都有个结果去重的问题,前文也说了,如果输入中就有重复元素的话,最后结果都需要去重,去重有好几个办法,可以利用std::set的性质(如leetcode上3sum的文章,但是他那个文章的问题是, set没用好,导致最终复杂度其实是O(N^2 * log N),而非真正的O(N^2) ),可以利用排序(如本文的方法)等,去重本身不难(copyright @sigmainfy),难的是不利用任何排序或者std::set直接得到没有重复的triplet结果集.本人试图通过已经排好序这个性质来做到这一点(试图不用trick 3和4下面的两条语句), 但是经过验证这样的代码(没有trick 3, 4下面的两行代码,直接return vecResult)也不能保证结果没有重复，于是不得不加上了trick 3, 4，还是需要通过在结果集上进一步去重. 笔者对于这个问题一直没有很好的想法,希望这里的代码能抛砖引玉,大家也讨论一下有没有办法,或者利用排序的性质或者利用其它方法,直接得到没有重复元素的triplet结果集,不需要去重这个步骤.
那么还是解释一下源代码里面有四个trick, 以及笔者试图不利用任何std::set或者排序而做到去重的想法.第一个无关紧要顺带的小trick 1,是说我们排好序以后,只需要检测到倒数第三个数字就行了,因为剩下的只有一种triplet由最后三个数字组成.接下来三个trick都是和排序以及最后结果的去重问题有关的,我一起说.
笔者为了达到不需要在最后的结果集做额外的去重, 尝试了以下努力:首先对输入数组整体排序,然后使用之前提到的3sum的算法,每次按照顺序先定下triplet的第一个数字,然后在数组后面寻找2sum,由于已经排好序,为了防止重复,我们要保证triplet的第一个数字没有重复,举个例子, -3, – 3, 2, 1,那么第二个-3不应该再被选为我们的第一个数字了, 因为在第一个-3定下来寻找2 sum的时候,我们一定已经找到了所有以-3为第一个数字的triplet(trick 2). 但是这样做尽管可以避免一部分的重复,但是还有另一种重复无法避免: -3, -3, -3, 6,那么在定下第一个-3的时候,我们已经有两组重复triplet <-3, -3, 6>， 如何在不使用std::set的情况下避免这类重复,笔者至今没有很好的想法. 大家有和建议?望不吝赐教！
更新: 感谢网友stayshan的留言提醒,根据他的留言,不用在最后再去重.于是可以把trick 3, 4下面的两行代码去掉,然后把while里面的copy constructor这条语句加上是否和前一个元素重复的判断变成下面的代码就行了.
这样的做法当然比我上面的代码更加优雅, 虽然本质其实是一样的,只不过去重的阶段变化了,进一步的,我想探讨的是,我们能不能通过”不产生任何重复的triplet”的方法直接得到没有重复的triplet集合? 网友stayshan提到的方法其实还是可能生成重复的triplet,然后通过和已有的triplet集合判断去重, 笔者在这里试图所做的尝试更加确切的讲是想找到一种方法,可以保证不生成重复的triplet.现有的方法似乎都是post-processing, i.e.,生成了重复的triplet以后进行去重.笔者想在这里探讨从而找到一种我觉得可以叫他pre-processing的方法,能够通过一定的性质(可能是排序的性质等)保证不会生成triplet,从而达到不需任何去重的后处理(post-processing)手段.感觉笔者抛出的砖已经引出了挺好的思路了啊,太好了,大家有啥更好的建议,还请指教啊 ：）
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 |
class Solution {public: vector threeSum(vector &num) { // same as above // ... for(int i = 0; i < iCount; ++i) { // same as above // ... while(j < k) { int iSum = num[j] + num[k]; if(iSum + vecTriple[0] == 0) { vecTriple[1] = num[j]; vecTriple[2] = num[k]; if(vecResult.size() == 0 || vecTriple != vecResult[vecResult.size() - 1]) vecResult.push_back(vecTriple); // copy constructor ++j; --k; } else if(iSum + vecTriple[0] < 0) ++j; else --k; } iCurrentValue = num[i]; } return vecResult; }}; |
Hash解法(Other)：
其实比如2sum还是有线性解法的，就是用hashmap,这样你check某个值存在不存在就是常数时间，那么给定一个sum,只要线性扫描,对每一个number判断sum – num存在不存在就可以了。注意这个算法对(copyright @sigmainfy)有重复元素的序列也是适用的。比如 2 3 3 4那么hashtable可以使hash(2) = 1; hash(3) = 1, hash(4) =1其他都是0, 那么check的时候，扫到两次3都是check sum – 3在不在hashtable中，注意最后返回所有符合的pair的时候也还是要去重。这样子推广的话3sum 其实也有O(N^2)的类似hash算法，这点和之前是没有提高的，但是4sum就会有更快的一个算法。
4sum的hash算法：
O(N^2)把所有pair存入hash表，并且每个hash值下面可以跟一个list做成map，map[hashvalue] = list，每个list中的元素就是一个pair,这个pair的和就是这个hash值，那么接下来求4sum就变成了在所有的pair value中求 2sum，这个就成了线性算法了，注意这里的线性又是针对pair数量(N^2)的线性，所以整体上这个算法是O(N^2)，而且因为我们挂了list,所以只要符合4sum的我们都可以找到对应的是哪四个数字。
到这里为止有人提出这个算法不对 (感谢Jun提出这点!! See the comment below),因为这里的算法似乎无法检查取出来的四个数字是否有重复的,也就是说在转换成2sum问题得到的那些个pair中,有可能会有重复元素,比如说原来数组中的第一个元素其实是重复了两次才使得4 sum满足要求,那么这样得到的四元组(四个数字的和等于给定的值),其实只有三个原数组元素,其中第一个元素用了两次,那么这样就不对了.如果仅从我上面的描述来看,确实是没有办法检查重复的,但是仔细想想我们只要在map中存pair的的时候记录下的不是原数组对应的值,而是原数组的id,就可以避免这个问题了.更加具体的, map[hashvalue] = list,每个list的元素就是一个pair,这个pair
更新: 关于4Sum的Hash解法,感谢网友Tenos和hahaer的评论,笔者再三思考,思来想去>_<对于hahaer提出的所有元素都是0,而且Target也是0的这个case,我想问题可能在这里.
首先如果要找出所有唯一的四元组(id1, id2, id3, id4)也就是id级别的四元组,那么时间复杂度只能是O(N^4).推理如下:如果要找到所有的唯一的四元组(id1, id2, id3, id4)的话,是一定要O(N^4)时间的,因为在这个case里面,就是一个组合问题,在N个id里面任意取出4个不同的id,都是符合我们条件的四元组,光是这样,答案就有 O(N^4)个, N个里面取四个的组合种数.
可是! 如果大家再去看看leetcode的题目的话,其实题目要求是返回元素组成的四元组(而不是要求id组成的四元组唯一),也就是元素级别的四元组(参考网友Jun和AmazingCaddy和我在评论中的讨论)在这个case中,返回(0, 0, 0, 0)就好了,而不是返回(id1，id2, id3, id4)也就是不用去管id的问题.如果是这样的话我们就不需要比较id了,利用set之类的post-processing的方法是可以得到唯一的(0, 0, 0, 0)的.
还是抛砖引玉吧, 如果大家在这个问题上还有什么想法,还请留言指点.
结束语：
这篇文章主要想从一般的K sum问题的角度总结那些比较经典的求和问题比如leetcode里面的2sum, 3sum(closest), 4sum等问题, 文章先直接给出K Sum的问题描述和算法(递归解法),然后将这个一般性的方法套用到具体的K,比如leetcode中的2Sum, 3Sum, 4Sum问题.同时我们也给出另一种哈希算法的讨论.