数据结构与算法分析java语言描述

1、数据结构
　　数据结构是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。

　　通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。数据结构往往同高效的检索算法和索引技术有关。

　　一、数据结构的基本功能
　　①、如何插入一条新的数据项

　　②、如何寻找某一特定的数据项

　　③、如何删除某一特定的数据项

　　④、如何迭代的访问各个数据项，以便进行显示或其他操作

   二、常用的数据结构
       数组Array、栈Stack、队列Queue，链表 linked List、树Tree、哈希表Hash、堆Heap、图Graph
       
2、算法
　　算法简单来说就是解决问题的步骤。

　　在Java中，算法通常都是由类的方法来实现的。前面的数据结构，比如链表为啥插入、删除快，而查找慢，平衡的二叉树插入、删除、查找都快，这都是实现这些数据结构的算法所造成的。后面我们讲的各种排序实现也是算法范畴的重要领域。

　　一、算法的五个特征
　　①、有穷性：对于任意一组合法输入值，在执行又穷步骤之后一定能结束，即：算法中的每个步骤都能在有限时间内完成。

　　②、确定性：在每种情况下所应执行的操作，在算法中都有确切的规定，使算法的执行者或阅读者都能明确其含义及如何执行。并且在任何条件下，算法都只有一条执行路径。

　　③、可行性：算法中的所有操作都必须足够基本，都可以通过已经实现的基本操作运算有限次实现之。

　　④、有输入：作为算法加工对象的量值，通常体现在算法当中的一组变量。有些输入量需要在算法执行的过程中输入，而有的算法表面上可以没有输入，实际上已被嵌入算法之中。

　　⑤、有输出：它是一组与“输入”有确定关系的量值，是算法进行信息加工后得到的结果，这种确定关系即为算法功能。

　　

　　二、算法的设计原则
　　①、正确性：首先，算法应当满足以特定的“规则说明”方式给出的需求。其次，对算法是否“正确”的理解可以有以下四个层次：

　　　　　　　　一、程序语法错误。

　　　　　　　　二、程序对于几组输入数据能够得出满足需要的结果。

　　　　　　　　三、程序对于精心选择的、典型、苛刻切带有刁难性的几组输入数据能够得出满足要求的结果。

　　　　　　　　四、程序对于一切合法的输入数据都能得到满足要求的结果。

　　　　　　　　PS：通常以第 三 层意义的正确性作为衡量一个算法是否合格的标准。

　　②、可读性：算法为了人的阅读与交流，其次才是计算机执行。因此算法应该易于人的理解；另一方面，晦涩难懂的程序易于隐藏较多的错误而难以调试。

　　③、健壮性：当输入的数据非法时，算法应当恰当的做出反应或进行相应处理，而不是产生莫名其妙的输出结果。并且，处理出错的方法不应是中断程序执行，而是应当返回一个表示错误或错误性质的值，以便在更高的抽象层次上进行处理。

　　④、高效率与低存储量需求：通常算法效率值得是算法执行时间；存储量是指算法执行过程中所需要的最大存储空间，两者都与问题的规模有关。

　　前面三点 正确性，可读性和健壮性相信都好理解。对于第四点算法的执行效率和存储量，我们知道比较算法的时候，可能会说“A算法比B算法快两倍”之类的话，但实际上这种说法没有任何意义。因为当数据项个数发生变化时，A算法和B算法的效率比例也会发生变化，比如数据项增加了50%，可能A算法比B算法快三倍，但是如果数据项减少了50%，可能A算法和B算法速度一样。所以描述算法的速度必须要和数据项的个数联系起来。也就是“大O”表示法，它是一种算法复杂度的相对表示方式，这里我简单介绍一下，后面会根据具体的算法来描述。

　　相对(relative)：你只能比较相同的事物。你不能把一个做算数乘法的算法和排序整数列表的算法进行比较。但是，比较2个算法所做的算术操作（一个做乘法，一个做加法）将会告诉你一些有意义的东西；

　　表示(representation)：大O(用它最简单的形式)把算法间的比较简化为了一个单一变量。这个变量的选择基于观察或假设。例如，排序算法之间的对比通常是基于比较操作(比较2个结点来决定这2个结点的相对顺序)。这里面就假设了比较操作的计算开销很大。但是，如果比较操作的计算开销不大，而交换操作的计算开销很大，又会怎么样呢？这就改变了先前的比较方式；

　　复杂度(complexity)：复杂度就是相对其他东西的度量结果。

　　算法的存储量，包括：

　　程序本身所占空间；

　　输入数据所占空间；

　　辅助变量所占空间；

数据结构必须具有以下基本功能：

　　①、如何插入一条新的数据项

　　②、如何寻找某一特定的数据项

　　③、如何删除某一特定的数据项

　　④、如何迭代的访问各个数据项，以便进行显示或其他操作

数组的局限性分析：

　　①、插入快，对于无序数组，上面我们实现的数组就是无序的，即元素没有按照从大到小或者某个特定的顺序排列，只是按照插入的顺序排列。无序数组增加一个元素很简单，只需要在数组末尾添加元素即可，但是有序数组却不一定了，它需要在指定的位置插入。

　　②、查找慢，当然如果根据下标来查找是很快的。但是通常我们都是根据元素值来查找，给定一个元素值，对于无序数组，我们需要从数组第一个元素开始遍历，直到找到那个元素。有序数组通过特定的算法查找的速度会比无需数组快，后面我们会讲各种排序算法。

　　③、删除慢，根据元素值删除，我们要先找到该元素所处的位置，然后将元素后面的值整体向前面移动一个位置。也需要比较多的时间。

　　④、数组一旦创建后，大小就固定了，不能动态扩展数组的元素个数。如果初始化你给一个很大的数组大小，那会白白浪费内存空间，如果给小了，后面数据个数增加了又添加不进去了。

栈的基本概念
　　栈（英语：stack）又称为堆栈或堆叠，栈作为一种数据结构，是一种只能在一端进行插入和删除操作的特殊线性表。它按照先进后出的原则存储数据，先进入的数据被压入栈底，最后的数据在栈顶，需要读数据的时候从栈顶开始弹出数据（最后一个数据被第一个读出来）。栈具有记忆作用，对栈的插入与删除操作中，不需要改变栈底指针。

　　栈是允许在同一端进行插入和删除操作的特殊线性表。允许进行插入和删除操作的一端称为栈顶(top)，另一端为栈底(bottom)；栈底固定，而栈顶浮动；栈中元素个数为零时称为空栈。插入一般称为进栈（PUSH），删除则称为退栈（POP）。

　　由于堆叠数据结构只允许在一端进行操作，因而按照后进先出（LIFO, Last In First Out）的原理运作。栈也称为后进先出表。

队列：
　队列（queue）是一种特殊的线性表，特殊之处在于它只允许在表的前端（front）进行删除操作，而在表的后端（rear）进行插入操作，和栈一样，队列是一种操作受限制的线性表。进行插入操作的端称为队尾，进行删除操作的端称为队头。队列中没有元素时，称为空队列。

　　队列的数据元素又称为队列元素。在队列中插入一个队列元素称为入队，从队列中删除一个队列元素称为出队。因为队列只允许在一端插入，在另一端删除，所以只有最早进入队列的元素才能最先从队列中删除，故队列又称为先进先出（FIFO—first in first out）线性表。

队列分为：

　　1、单向队列（Queue）：只能在一端插入数据，另一端删除数据。
           与栈不同的是，队列中的数据不总是从数组的0下标开始的，移除一些队头front的数据后，队头指针会指向一个较高的下标位置
           队列中新增一个数据时，队尾的指针rear 会向上移动，也就是向下标大的方向。移除数据项时，队头指针 front 向上移动。
           在计算机中也可以在队列中删除一个数之后，队列整体向前移动，但是这样做效率很差。我们选择的做法是移动队头和队尾的指针。
           为了避免队列不满却不能插入新的数据，我们可以让队尾指针绕回到数组开始的位置，这也称为“循环队列”。
　　2、双向队列（Deque）：每一端都可以进行插入数据和删除数据操作。
           双端队列就是一个两端都是结尾或者开头的队列， 队列的每一端都可以进行插入数据项和移除数据项，这些方法可以叫做：

　　        insertRight()、insertLeft()、removeLeft()、removeRight()

　　       如果严格禁止调用insertLeft()和removeLeft()（或禁用右端操作），那么双端队列的功能就和前面讲的栈功能一样。

　　       如果严格禁止调用insertLeft()和removeRight(或相反的另一对方法)，那么双端队列的功能就和单向队列一样了。
    3、优先级队列，优先级队列是比栈和队列更专用的数据结构，在优先级队列中，数据项按照关键字进行排序，关键字最小（或者最大）的数据项往往在队列的最前面，而数据项在插入的时候都会插入到合适的位置以确保队列的有序。
    
          优先级队列（priority queue）是比栈和队列更专用的数据结构，在优先级队列中，数据项按照关键字进行排序，关键字最小（或者最大）的数据项往往在队列的最前面，而数据项在插入的时候都会插入到合适的位置以确保队列的有序。

　　      优先级队列 是0个或多个元素的集合，每个元素都有一个优先权，对优先级队列执行的操作有：

　　      （1）查找

　　      （2）插入一个新元素

　　       （3）删除

　　一般情况下，查找操作用来搜索优先权最大的元素，删除操作用来删除该元素 。对于优先权相同的元素，可按先进先出次序处理或按任意优先权进行。

栈和队列这两种数据结构，总结一下：

　　①、栈、队列（单向队列）、优先级队列通常是用来简化某些程序操作的数据结构，而不是主要作为存储数据的。

　　②、在这些数据结构中，只有一个数据项可以被访问。

　　③、栈允许在栈顶压入（插入）数据，在栈顶弹出（移除）数据，但是只能访问最后一个插入的数据项，也就是栈顶元素。

　　④、队列（单向队列）只能在队尾插入数据，对头删除数据，并且只能访问对头的数据。而且队列还可以实现循环队列，它基于数组，数组下标可以从数组末端绕回到数组的开始位置。

　　⑤、优先级队列是有序的插入数据，并且只能访问当前元素中优先级别最大（或最小）的元素。

　　⑥、这些数据结构都能由数组实现，但是可以用别的机制（链表、堆等数据结构）实现。
  
  
  1、链表（Linked List）
链表通常由一连串节点组成，每个节点包含任意的实例数据（data fields）和一或两个用来指向上一个/或下一个节点的位置的链接（"links"）
　　链表（Linked list）是一种常见的基础数据结构，是一种线性表，但是并不会按线性的顺序存储数据，而是在每一个节点里存到下一个节点的指针(Pointer)。

　　使用链表结构可以克服数组链表需要预先知道数据大小的缺点，链表结构可以充分利用计算机内存空间，实现灵活的内存动态管理。但是链表失去了数组随机读取的优点，同时链表由于增加了结点的指针域，空间开销比较大。

单链表是链表中结构最简单的。一个单链表的节点(Node)分为两个部分，第一个部分(data)保存或者显示关于节点的信息，另一个部分存储下一个节点的地址。最后一个节点存储地址的部分指向空值。

　　单向链表只可向一个方向遍历，一般查找一个节点的时候需要从第一个节点开始每次访问下一个节点，一直访问到需要的位置。而插入一个节点，对于单向链表，我们只提供在链表头插入，只需要将当前插入的节点设置为头节点，next指向原头节点即可。删除一个节点，我们将该节点的上一个节点的next指向该节点的下一个节点。

抽象数据类型（ADT）是指一个数学模型及定义在该模型上的一组操作。它仅取决于其逻辑特征，而与计算机内部如何表示和实现无关。比如刚才说得整型，各个计算机，不管大型机、小型机、PC、平板电脑甚至智能手机，都有“整型”类型，也需要整形运算，那么整型其实就是一个抽象数据类型。 　
ADT的思想可以作为我们设计工具的理念，比如我们需要存储数据，那么就从考虑需要在数据上实现的操作开始，需要存取最后一个数据项吗？还是第一个？还是特定值的项？还是特定位置的项？回答这些问题会引出ADT的定义，只有完整的定义了ADT后，才应该考虑实现的细节。

每个链表都包括一个LinikedList对象和许多Node对象，LinkedList对象通常包含头和尾节点的引用，分别指向链表的第一个节点和最后一个节点。而每个节点对象通常包含数据部分data，以及对上一个节点的引用prev和下一个节点的引用next，只有下一个节点的引用称为单向链表，两个都有的称为双向链表。next值为null则说明是链表的结尾，如果想找到某个节点，我们必须从第一个节点开始遍历，不断通过next找到下一个节点，直到找到所需要的。栈和队列都是ADT，可以用数组来实现，也可以用链表实现。

递归的定义
　　递归，就是在运行的过程中调用自己。

　　递归必须要有三个要素：

　　①、边界条件

　　②、递归前进段

　　③、递归返回段

　　当边界条件不满足时，递归前进；当边界条件满足时，递归返回。

4、分治算法
　　当我们求解某些问题时，由于这些问题要处理的数据相当多，或求解过程相当复杂，使得直接求解法在时间上相当长，或者根本无法直接求出。对于这类问题，我们往往先把它分解成几个子问题，找到求出这几个子问题的解法后，再找到合适的方法，把它们组合成求整个问题的解法。如果这些子问题还较大，难以解决，可以再把它们分成几个更小的子问题，以此类推，直至可以直接求出解为止。这就是分治策略的基本思想。

　　递归的二分查找法就是一个分治算法的典型例子，分治算法常常是一个方法，在这个方法中含有两个对自身的递归调用，分别对应于问题的两个部分。

　　二分查找中，将查找范围分成比查找值大的一部分和比查找值小的一部分，每次递归调用只会有一个部分执行。

5、归并排序
 　　归并算法的中心是归并两个已经有序的数组。归并两个有序数组A和B，就生成了第三个有序数组C。数组C包含数组A和B的所有数据项。
 
     归并排序的思想是把一个数组分成两半，排序每一半，然后用上面的sort()方法将数组的两半归并成为一个有序的数组。如何来为每一部分排序呢？这里我们利用递归的思想：

　　把每一半都分为四分之一，对每个四分之一进行排序，然后把它们归并成一个有序的一半。类似的，如何给每个四分之一数组排序呢？把每个四分之一分成八分之一，对每个八分之一进行排序，以此类推，反复的分割数组，直到得到的子数组是一个数据项，那这就是这个递归算法的边界值，也就是假定一个数据项的元素是有序的。

6、消除递归
　　一个算法作为一个递归的方法通常通概念上很容易理解，但是递归的使用在方法的调用和返回都会有额外的开销，通常情况下，用递归能实现的，用循环都可以实现，而且循环的效率会更高，所以在实际应用中，把递归的算法转换为非递归的算法是非常有用的。这种转换通常会使用到栈。

　　递归和栈
　　递归和栈有这紧密的联系，而且大多数编译器都是用栈来实现递归的，当调用一个方法时，编译器会把这个方法的所有参数和返回地址都压入栈中，然后把控制转移给这个方法。当这个方法返回时，这些值退栈。参数消失了，并且控制权重新回到返回地址处。

　　调用一个方法时所发生的事：

　　一、当一个方法被调用时，它的参数和返回地址被压入一个栈中；

　　二、这个方法可以通过获取栈顶元素的值来访问它的参数；

　　三、当这个方法要返回时，它查看栈以获得返回地址，然后这个地址以及方法的所有参数退栈，并且销毁。

一个递归方法每次都是用不同的参数值反复调用自己，当某种参数值使得递归的方法返回，而不再调用自身，这种情况称为边界值，也叫基值。当递归方法返回时，递归过程通过逐渐完成各层方法实例的未执行部分，而从最内层返回到最外层的原始调用处。

　　阶乘、汉诺塔、归并排序等都可以用递归来实现，但是要注意任何可以用递归完成的算法用栈都能实现。当我们发现递归的方法效率比较低时，可以考虑用循环或者栈来代替它。

 

1、树
　　树（tree）是一种抽象数据类型（ADT），用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>0）个有限节点通过连接它们的边组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

①、路径：顺着节点的边从一个节点走到另一个节点，所经过的节点的顺序排列就称为“路径”。

　　②、根：树顶端的节点称为根。一棵树只有一个根，如果要把一个节点和边的集合称为树，那么从根到其他任何一个节点都必须有且只有一条路径。A是根节点。

　　③、父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；B是D的父节点。

　　④、子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；D是B的子节点。

　　⑤、兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；比如上图的D和E就互称为兄弟节点。

　　⑥、叶节点：没有子节点的节点称为叶节点，也叫叶子节点，比如上图的H、E、F、G都是叶子节点。

　　⑦、子树：每个节点都可以作为子树的根，它和它所有的子节点、子节点的子节点等都包含在子树中。

　　⑧、节点的层次：从根开始定义，根为第一层，根的子节点为第二层，以此类推。

　　⑨、深度：对于任意节点n,n的深度为从根到n的唯一路径长，根的深度为0；

　　⑩、高度：对于任意节点n,n的高度为从n到一片树叶的最长路径长，所有树叶的高度为0；

2、二叉树
　　二叉树：树的每个节点最多只能有两个子节点

    二叉搜索树要求：若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值； 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值； 它的左、右子树也分别为二叉排序树。
    
3、查找节点
　　查找某个节点，我们必须从根节点开始遍历。

　　①、查找值比当前节点值大，则搜索右子树；

　　②、查找值等于当前节点值，停止搜索（终止条件）；

　　③、查找值小于当前节点值，则搜索左子树；

树的效率：查找节点的时间取决于这个节点所在的层数，每一层最多有2n-1个节点，总共N层共有2n-1个节点，那么时间复杂度为O(logN),底数为2。

4、插入节点
　　 要插入节点，必须先找到插入的位置。与查找操作相似，由于二叉搜索树的特殊性，待插入的节点也需要从根节点开始进行比较，小于根节点则与根节点左子树比较，反之则与右子树比较，直到左子树为空或右子树为空，则插入到相应为空的位置，在比较的过程中要注意保存父节点的信息 及 待插入的位置是父节点的左子树还是右子树，才能插入到正确的位置。

5、遍历树
　　遍历树是根据一种特定的顺序访问树的每一个节点。比较常用的有前序遍历，中序遍历和后序遍历。而二叉搜索树最常用的是中序遍历。

　　①、中序遍历:左子树——》根节点——》右子树

　　②、前序遍历:根节点——》左子树——》右子树

　　③、后序遍历:左子树——》右子树——》根节点

6、查找最大值和最小值
　　要找最小值，先找根的左节点，然后一直找这个左节点的左节点，直到找到没有左节点的节点，那么这个节点就是最小值。同理要找最大值，一直找根节点的右节点，直到没有右节点，则就是最大值。

7、删除节点　　
　　删除节点是二叉搜索树中最复杂的操作，删除的节点有三种情况，前两种比较简单，但是第三种却很复杂。

　　1、该节点是叶节点（没有子节点）

　　2、该节点有一个子节点

　　3、该节点有两个子节点

　　下面我们分别对这三种情况进行讲解。

　　①、删除没有子节点的节点
　　要删除叶节点，只需要改变该节点的父节点引用该节点的值，即将其引用改为 null 即可。要删除的节点依然存在，但是它已经不是树的一部分了，由于Java语言的垃圾回收机制，我们不需要非得把节点本身删掉，一旦Java意识到程序不在与该节点有关联，就会自动把它清理出存储器。删除节点，我们要先找到该节点，并记录该节点的父节点。在检查该节点是否有子节点。如果没有子节点，接着检查其是否是根节点，如果是根节点，只需要将其设置为null即可。如果不是根节点，是叶节点，那么断开父节点和其的关系即可。

　　②、删除有一个子节点的节点
　　删除有一个子节点的节点，我们只需要将其父节点原本指向该节点的引用，改为指向该节点的子节点即可。

　  ③、删除有两个子节点的节点

④、删除有必要吗？
 　　通过上面的删除分类讨论，我们发现删除其实是挺复杂的，那么其实我们可以不用真正的删除该节点，只需要在Node类中增加一个标识字段isDelete，当该字段为true时，表示该节点已经删除，反正没有删除。那么我们在做比如find()等操作的时候，要先判断isDelete字段是否为true。这样删除的节点并不会改变树的结构。
 
 
 8、二叉树的效率
　　从前面的大部分对树的操作来看，都需要从根节点到下一层一层的查找。

　　一颗满树，每层节点数大概为2n-1，那么最底层的节点个数比树的其它节点数多1，因此，查找、插入或删除节点的操作大约有一半都需要找到底层的节点，另外四分之一的节点在倒数第二层，依次类推。

　　总共N层共有2n-1个节点，那么时间复杂度为O(logn),底数为2。

　　在有1000000 个数据项的无序数组和链表中，查找数据项平均会比较500000 次，但是在有1000000个节点的二叉树中，只需要20次或更少的比较即可。

　　有序数组可以很快的找到数据项，但是插入数据项的平均需要移动 500000 次数据项，在 1000000 个节点的二叉树中插入数据项需要20次或更少比较，在加上很短的时间来连接数据项。

　　同样，从 1000000 个数据项的数组中删除一个数据项平均需要移动 500000 个数据项，而在 1000000 个节点的二叉树中删除节点只需要20次或更少的次数来找到他，然后在花一点时间来找到它的后继节点，一点时间来断开节点以及连接后继节点。

　　所以，树对所有常用数据结构的操作都有很高的效率。

　　遍历可能不如其他操作快，但是在大型数据库中，遍历是很少使用的操作，它更常用于程序中的辅助算法来解析算术或其它表达式。

哈夫曼树（最优二叉树）
节点之间的路径长度：在树中从一个结点到另一个结点所经历的分支，构成了这两个结点间的路径上的经过的分支数称为它的路径长度
树的路径长度：从树的根节点到树中每一结点的路径长度之和。在结点数目相同的二叉树中，完全二叉树的路径长度最短。
结点的权：在一些应用中，赋予树中结点的一个有某种意义的实数。
结点的带权路径长度：结点到树根之间的路径长度与该结点上权的乘积。
树的带权路径长度(Weighted Path Length of Tree：WPL)：定义为树中所有叶子结点的带权路径长度之和

最优二叉树：从已给出的目标带权结点(单独的结点) 经过一种方式的组合形成一棵树.使树的权值最小.。最优二叉树是带权路径长度最短的二叉树。根据结点的个数，权值的不同，最优二叉树的形状也各不相同。它们的共同点是：带权值的结点都是叶子结点。权值越小的结点，其到根结点的路径越长。

注意：
    ① 叶子上的权值均相同时，完全二叉树一定是最优二叉树，否则完全二叉树不一定是最优二叉树。
    ② 最优二叉树中，权越大的叶子离根越近。
    ③ 最优二叉树的形态不唯一，WPL最小。