CodeForces - 893E Counting Arrays 【组合数】

题意：

给出一个在正整数 x ，一个正整数 y ，求有多少个阵列，使得阵列里面有 y 个元素，且所有元素乘起来等于 x 。

思路：

根据整数的唯一分解定理，对于任意正整数都有且只有一种方式写出其素因子的乘积表达式，即：

                                             A = (p1^k1) * (p2^k2) * (p3^k3) * ... ... * (pn^kn)     其中 pi 均为素数。

所以对于 x 可已将其分解为若干个质数相乘，如果不够 y 个其余补 1 ，超过 y 个可以将这些质因子相乘来减少个数。

比如对于 x=360 ：    x = 360 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5； 如果 y = 7， 则 x 可分解为： { 2，2，2，3，3，5，1 } ，集合里面的元素还可以任意组合相乘变成：{ 4，2，3，3，5，1，1 }、{ 8，3，3，5，1，1，1 }、{ 2，36，5，1，1，1，1 } ……

这就相当于共有 7 个盒子要把 { 2，2，2，3，3，5 } 往盒子里放，在同一个盒子里的数相乘，为空的盒子补 1 。求出有多少种放法答案就显而易见了 ;

对于质因子 pi 有 ki 个，往盒子里放就相当于 ki 个相同的小球往 y 个盒子里放，经典组合问题，可参考 —> 传送 .                        答案为 C(ki+y-1,y-1) ;

接下来考虑负数的情况： 显然负数的个数应该是偶数，所以可以选择 0个(C[y][0] )、2个(C[y][2])、4个(C[y][4])……  上面求出来的答案乘上 （  C[y][0] + C[y][2] + C[y][4] + ……）= 2^(y-1) ;

代码：

#include
using namespace std;
typedef long long Lint;
const int max_n=1e6+100;
const Lint mod=1e9+7;
Lint fac[max_n*2];

Lint poww(Lint a,Lint b){
    Lint res=1,base=a;
    while(b){
        if(b&1)
            res*=base;
        res%=mod;
        base*=base;
        base%=mod;
        b>>=1;
    }
    return res%mod;
}

void Init(){
    fac[0]=1;
    fac[1]=1;
    for(int i=2;i1) res=res*k%mod;
    res*=poww(2,k-1);
    res%=mod;
    printf("%lld\n",res);
}

int main(){
    Init();
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    solve();
	return 0;
}