题目描述
假设现在有两个自然数A和B，S是\(A^B\)的所有约数之和。
请你求出S mod 9901的值是多少。
输入格式
在一行中输入用空格隔开的两个整数A和B。
输出格式
输出一个整数，代表S mod 9901的值。
数据范围
0\(\leq\) A,B \(\leq\) 5*\(10^7\)
输入样例
2 3
输出样例
15
注意: A和B不会同时为0。
思路
我们首先了解一下约数和定理。对这个定理不太了解的同学可以先点击这里了解一下：约数和定理
由我们已经知道的约数和定理可以知道。当A=p1^k1+p2^k2+p3^k3+...+pn^kn 时。
那么A的所有的约数之和就是
f(A)=(p1^0+p1^1+...+p1^k1)+(p2^0+p2^1+...+p2^k2)+...(pn^0+pn^1+...+pn^kn)。
那么同理我们也可以求出\(A^B\)的约数之和。
因为
\(A^B\)=p1^(k1*B)+p2^(k2*B)+p3^(k3*B)+...+pn^(kn*B)
具体原因大家可以仔细想想，不难理解。
其中代码中的quick函数是快速幂函数。
对这个不是很理解的同学可以看一下我的这篇文章来学习一下:快速幂||取余运算
递归C++ 代码
#include
using namespace std;
const int mod = 9901;
int quick(int p, int k)
{
p = p % mod;
if (k == 0) return 1;
int res = 1;
while (k)
{
if (k & 1)
res = (res * p) % mod;
k = k >> 1;
p = (p * p) % mod;
}
return res%mod;
}
int sum(int p, int k)
{
if (k == 0)
return 1;
if ((k & 1) == 0)//k为偶数的情况下
return ((sum(p, k - 1) % mod) * p+1) % mod;
//k为奇数的情况下
return (((quick(p, k / 2 + 1) + 1) % mod) * (sum(p, k / 2) % mod)) % mod;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
int A, B;
cin >> A >> B;
int res = 1;
for (int p = 2;p <= A;p++)//对A分解质因数
{
int k = 0;
while (A % p == 0)
{
k++;
A /= p;
}
if(k)
res = res * sum(p%mod, k * B)%mod;
//注意:这里为什么要乘B，因为我们计算的是A^B%mod的值.
//举个例子:A=p1^k1+p2^k2+p3^k3+...+pn^kn。
//那么则有:A^B=p1^(k1*B)+p2^(k2*B)+p3^(k3*B)+...+pn^(kn*B)。
//具体原因大家可以仔细想想，不难理解
}
cout << res << endl;
return 0;
}