匈牙利算法
匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出,因而得名,,它是部图匹配最常见的算法,该算法的核心就是寻找增广路径,它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。
【先介绍几个概念】
匹配:在图论中,一个「匹配」(matching)是一个边的集合,其中任意两条边都没有公共顶点。例如,图3、图4中红色的边就是图 2 的匹配。
我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边,它们的含义非常显然。例如图 3中1、4、5、7为匹配点,其他顶点为未匹配点;1-5、4-7为匹配边,其他边为非匹配边
最大匹配:一个图所有匹配中,所含匹配边数最多的匹配,称为这个图的最大匹配。图4 是一个最大匹配,它包含 4 条匹配边。
完备匹配:如果一个图的某个匹配中,所有的顶点都是匹配点,那么它就是一个完美匹配。图4 是一个完美匹配。显然,完美匹配一定是最大匹配(完美匹配的任何一个点都已经匹配,添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突)。但并非每个图都存在完备匹配。
举例来说:如下图所示,如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边,就意味着他们彼此喜欢。是否可能让所有男孩和女孩两两配对,使得每对儿都互相喜欢呢?图论中,这就是完备匹配问题。如果换一个说法:最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对儿?这就是最大匹配问题。
求解最大匹配问题的一个算法就是匈牙利算法,下面讲的概念都为这个算法服务。
1.未匹配点 : 设Vi是图G的一个顶点,如果Vi 不与任意一条属于匹配M的边相关联,就称Vi 是一个未盖点
2.交错路 : 从一个未匹配点出发,依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边这样的路径称为交错路
3.增广路 : 从未匹配点出发,走交错路,如果路径终点还是一个未匹配点,这条路径称为增广路
如图5的一个增广路就如图6.
可以看出增广路的一大特性:增广路所走的边,未匹配边一定比匹配边多1, (如图6,黑色尖头比红色箭头多1.)
根据增广路的定义,这是必然的。
所以我们可以通过不断寻找增广路,然后将未匹配的边 与匹配的边互换,从而达到 “增广”的目的,也就是让匹配边加1 ,直到找不到增广路
所以匈牙利算法可以解决无权二分图的最大匹配问题。 想了解二分图,请移步这里二分图简介
【伪代码】
void hungary()//匈牙利算法
{
for i->1 to n
if (从i的对应项出有可增广路)
匹配数++;
输出 匹配数;
}
bool findpath(k)//寻找从k出发的对应项出的可增广路
{
while (从邻接表中列举k能关联到顶点j){
if (j不在增广路上){
把j加入增广路;
if (j是未匹配点 或者 从j的对应项出发有可增广路)
修改j的对应项为k;//也就是说边(k,j)匹配,j对应匹配到k上
则从k的对应项出有可增广路,返回true;
}
}
}
则从k的对应项出没有可增广路,返回false;
}
以上大部分源自学长讲课的PPT,觉得讲的好就整理了一下,希望更多的人能学习到。
这里给一个模板题 HDU 2063
题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2063
过山车
Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 14226 Accepted Submission(s): 6278
注意:只有女生可以选择男生
【邻接链表储存图】
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int k,m,n;
const int maxn =550;
const int maxe =1050;
vector G[maxn];
bool inpath[maxe];
int match[maxe];
bool findpath(int k){
for(int i=0;i
【前向星储存图】
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int k,m,n;
const int maxn =550 ;
const int maxe =1050 ;
bool inpath[maxe];
int match[maxe];
int head[maxe];int edgeNum=0;
struct Edge{
int to,next;
}edge[maxe];
void addEdge(int a,int b){
edge[edgeNum].to=b;
edge[edgeNum].next=head[a];
head[a]=edgeNum++;
}
bool findpath(int k){
// inpath[k]=true; //inpath储存的是增广路,本题中标记的应该是男生,
for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].next){
int j=edge[i].to;
if(!inpath[j]){
inpath[j]=true; //所以在这里标记
//如果没有匹配,直接匹配,
//如果匹配了,,看看她的匹配能否找到新的匹配
if(match[j]==-1||findpath(match[j])){
match[j]=k;return true;
}
}
}
return false;
}
void hungary(){
int cnt=0;
for(int i=1;i<=m;i++){
memset(inpath,0,sizeof(inpath));
//从每一个节点开始找增广路,增广路都要清空,
//但是match不要清空,
if(findpath(i)){
cnt++;
}
}
cout<