【XSY2730】Ball 多项式exp 多项式ln 多项式开根 常系数线性递推 DP

题目大意

　　一行有 n 个球，现在将这些球分成 k 组，每组可以有一个球或相邻两个球。一个球只能在至多一个组中（可以不在任何组中）。求对于 1≤k≤m 的所有 k 分别有多少种分组方法。

　　答案对 998244353 取模。

　　 n≤109,m<219

题解

　　因为 k>n 的项都是 0 ，所以我们钦定 m≤n

　　考虑DP。

　　记 fi,j 为前 i 个球分为 j 组的方案数。

fi,j=fi−1,j+fi−1,j−1+fi−2,j−1

　　直接做是 O(nm) 的。

　　如果把 fi 看成一个多项式，即

Fi(x)=∑j≥0fi,jxj

　　那么转移就变成了

Fi(x)=(1+x)Fi−1(x)+xFi−2(x)

　　这是一个常系数齐次线性递推，用FFT优化可以做到 O(mlogmlogn)

　　考虑怎么求一个常系数齐次线性递推关系的通项公式。

　　先求出这个转移矩阵的特征多项式：

λ2−(1+x)λ−x

　　特征值为

λ1λ2=1+x+x2+6x+1‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√2=1+x−x2+6x+1‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√2

　　我们钦定 F−1(x)=0 ，设

Fi(x)=c1λ1i+1+c2λ2i+1

　　带入 F−1(x),F0(x) 得

{c1c2λ1+c2+c2λ2=0=1

　　解得

{c1c2=1λ1−λ2=1λ2−λ1

　　于是

Fi(x)=λ1i+1−λ2i+1λ1−λ2

　　直接用多项式开根求出 λ1,λ2 ，然后用多项式 lnexp 求出 Fn(x)

　　时间复杂度： O(mlogm)

　　小优化：因为 [x0]λ2=0 ，所以 λ2 的前 n+1 项都是 0 。因为 m≤n ，所以

λ2n+1≡0(modxm+1)

　　所以我们不用计算 λ2n+1 了。

代码

#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=300000;
const ll p=998244353;
const ll g=3;
const ll inv2=(p+1)/2;
ll fp(ll a,ll b)
{
    ll s=1;
    for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
        if(b&1)
            s=s*a%p;
    return s;
}
int rev[maxn];
ll w1[maxn];
ll w2[maxn];
void ntt(ll *a,int n,int t)
{
    int i,j,k;
    ll u,v,w,wn;
    for(i=1;i>1]>>1)|(i&1?n>>1:0);
        if(rev[i]>i)
            swap(a[i],a[rev[i]]);
    }
    for(i=2;i<=n;i<<=1)
    {
        wn=(t==1?w1[i]:w2[i]);
        for(j=0;j1;
            for(k=j;k2;k++)
            {
                u=a[k];
                v=a[k+i/2]*w%p;
                a[k]=(u+v)%p;
                a[k+i/2]=(u-v)%p;
                w=w*wn%p;
            }
        }
    }
    if(t==-1)
    {
        ll inv=fp(n,p-2);
        for(i=0;i*inv%p;
    }
}
void getinv(ll *a,ll *b,int n)
{
    if(n==1)
    {
        b[0]=fp(a[0],p-2);
        return;
    }
    getinv(a,b,n>>1);
    static ll a1[maxn],a2[maxn];
    int i;
    for(i=0;ifor(;i1;i++)
        a1[i]=0;
    for(i=0;i>1;i++)
        a2[i]=b[i];
    for(;i1;i++)
        a2[i]=0;
    ntt(a1,n<<1,1);
    ntt(a2,n<<1,1);
    for(i=0;i1;i++)
        a1[i]=a2[i]*((2-a1[i]*a2[i])%p)%p;
    ntt(a1,n<<1,-1);
    for(i=0;i*a,ll *b,int n)
{
    if(n==1)
    {
        b[0]=1;
        return;
    }
    getsqrt(a,b,n>>1);
    static ll a1[maxn],a2[maxn],a3[maxn];
    int i;
    for(i=0;i>1;i++)
        a1[i]=b[i];
    for(;i1;i++)
        a1[i]=0;
    for(i=0;ifor(;i1;i++)
        a2[i]=0;
    getinv(a1,a3,n);
    ntt(a2,n<<1,1);
    ntt(a3,n<<1,1);
    for(i=0;i1;i++)
        a2[i]=a2[i]*a3[i]%p;
    ntt(a2,n<<1,-1);
    for(i=0;i%p*inv2%p;
}
void getln(ll *a,ll *b,int n)
{
    static ll inv[maxn],a1[maxn],a2[maxn];
    int i;
    inv[0]=inv[1]=1;
    for(i=2;i*inv[p%i]%p;
    for(i=1;i1]=a[i]*i%p;
    a1[n-1]=0;
    getinv(a,a2,n);
    for(i=n;i1;i++)
        a1[i]=a2[i]=0;
    ntt(a1,n<<1,1);
    ntt(a2,n<<1,1);
    for(i=0;i1;i++)
        a1[i]=a1[i]*a2[i]%p;
    ntt(a1,n<<1,-1);
    for(i=1;i1]*inv[i]%p;
    b[0]=0;
}
void getexp(ll *a,ll *b,int n)
{
    if(n==1)
    {
        b[0]=1;
        return;
    }
    getexp(a,b,n>>1);
    int i;
    for(i=n>>1;i0;
    static ll a1[maxn],a2[maxn],a3[maxn];
    getln(b,a1,n);
    for(i=0;i>1;i++)
    {
        a2[i]=b[i];
        a3[i]=a[i+(n>>1)]-a1[i+(n>>1)];
    }
    for(;i0;
    ntt(a2,n,1);
    ntt(a3,n,1);
    for(i=0;i*a3[i]%p;
    ntt(a2,n,-1);
    for(i=0;i>1;i++)
        b[i+(n>>1)]=a2[i];
}
ll a[maxn];
ll b[maxn];
ll c[maxn];
ll d[maxn];
ll e[maxn];
int n,m;
int k;
void solve()
{
    k=1;
    while(k<=m)
        k<<=1;
    int i;
    for(i=2;i<=k<<1;i++)
    {
        w1[i]=fp(g,(p-1)/i);
        w2[i]=fp(w1[i],p-2);
    }
    d[0]=1;
    d[1]=6;
    d[2]=1;
    getsqrt(d,c,k);
    for(i=0;i0]++;
    a[1]++;
    for(i=0;i*inv2%p;
    getinv(c,b,k);
    getln(a,e,k);
    for(i=0;i*(n+1)%p;
    getexp(e,a,k);
    for(i=k;i1;i++)
        a[i]=b[i]=0;
    ntt(a,k<<1,1);
    ntt(b,k<<1,1);
    for(i=0;i1;i++)
        a[i]=a[i]*b[i]%p;
    ntt(a,k<<1,-1);
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        a[i]=(a[i]+p)%p;
        printf("%lld ",a[i]);
    }
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("b.in","r",stdin);
    freopen("b.out","w",stdout);
#endif
    int x=0;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if(m>n)
    {
        x=m-n;
        m=n;
    }
    solve();
    while(x--)
        printf("0 ");
    return 0;
}