算法概论8.20题解

• 首先证明这是一个NP问题：

  • 因为对于 D，其中只是一系列点的集合，所以我们可以直接在多项式时间内验证它是不是一个占优集，即直接检查 D 的规模是否满足预算，并标记 D 中每一个点及其邻居，检查是否能覆盖所有的顶点。因此，这是一个 NP 问题

• 然后，从顶点覆盖问题规约，来证明它是NP-完全的。

  • 令一个顶点覆盖问题求解的图为 G=(V,E) ，则从其中构造占优集的问题的图 G′=(V′,E′)：
    
    1. 对于任意 v∈V ，都设对应的 v′ 放入到 V′ 中
    2. 对于任意的 e∈E， e 的两个端点为 u,v ，然后生成多一个点 we 加入到 V′ 中，对应于边 e ，然后将 (u′,w′e),(v′,w′e) 加入到 E′ 中。
    3. 对于任意的 u,v∈V ， 将 (u′,v′) 加入到 E′ 中，完成 G′ 的构图。
  • 那么此时，若 D 是 G 的一个顶点数为k的顶点覆盖集，然后根据点对应关系构造 D′ ，因为 D 是一个顶点覆盖集，所以 G′ 中每个 we 都会有相邻的顶点，同时，因为 we 是相邻的，因此每个 v′ 都会相邻或对应，因此 D′ 是一个 G′ 的占优集。
  • 相反，若 D′ 是 G′ 的一个占优集，然后根据点对应关系构造 D ，其中，对于 we ，则只需取其对应的 e 的其中一个端点即可。则易得每条边的端点都被覆盖到，因此 D 是其中一个顶点覆盖集。