#10196. 「一本通 6.1 练习 3」越狱（快速幂系列）

【题目描述】题目链接在此

原题来自：HNOI 2008

监狱有连续编号为 1 到 n 的 n 个房间，每个房间关押一个犯人。有 m 种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。如果相邻房间的犯人信仰的宗教相同，就可能发生越狱。求有多少种状态可能发生越狱。

【输入格式】

输入两个整数 m 和 n。

【输出格式】

可能越狱的状态数，对 100003 取余。

【样例输入】

2 3

【样例输出】

6

【样例说明】

所有可能的 666 种状态为：{0,0,0},{0,0,1},{0,1,1},{1,0,0},{1,1,0},{1,1,1}

【数据范围与提示】

对于全部数据，1≤m≤10^8,1​​,1≤n≤10​^12​​。

思路：这道题的确也是快速幂，但是比转圈游戏更不好找到，因为他没有详细出现平方这样的字眼，但是仔细想想，还是能想出点头绪的，因为我们可以从越狱和不越狱的可能性出发，进行深度思考，其实我们只要能够理解到 m^n就是全部的可能性，只要能推出这个就一定能推出这是快速幂，而且也会离答案的公式越来越近，公式推导在代码里面。

【代码实现】

#include
#include
#include
using namespace std;
#define z 100003
typedef long long ll;
ll n,m;
ll power(ll x,ll y)
{
    ll ans=1%z; x=x%z;
    while(y>0)
    {
        if(y&1) ans=ans*x%z;
        y=y>>1; x=x*x%z;  
    }
    return ans;
}
int main()
{
	scanf("%lld%lld",&m,&n);
	ll a=power(m,n);
	/*表示所有的可能方案，包括越狱和不越狱 
	比如说m为2，n为3，那么可能性为m^n=8，就是 0 0 0，0 0 1, 0 1 0， 0 1 1
	1 0 0,1 0 1， 1 1 0， 1 1 1  
	ll b=m*power(m-1,n-1);
	/*
	不越狱的可能方案：
	比如说：有三种宗教，那么不能越狱的就是 1 0 1 ， 0 1 0 两种可能，就是m-1
	那么如果有三个房间，第一个房间的宗教选择是1，
	那么后面两个房间就是 1 0 ， 0 1两种可能，就是n-1 
	*/ 
	ll answer=((a-b)%z+z)%z;
	/*
	这个就是可以越狱的可能方案，mod是题目要求，+z是因为防止 -mod ，最后再mod就好了 
	*/ 
    printf("%lld\n",answer);
	return 0;
}

这道题只要理清楚总的可能性，不能越狱的可能性，可以越狱的可能性，就可以推出最终的公式，最后的答案可以连在一起输出，但是我为了理解和调试所以就分开输出了a和b，这个不太影响，洛谷上面也有这道题，挺好理解的，也蛮经典的。难度系数大概也是3.5吧，因为要理解这是快速幂和推公式，如果一开始就不能理解这是快速幂，那么这道题就做不出来。