[每日一题系列]第一天——约瑟夫问题

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问题描述

0，1，…，n-1这n个数排成一个圆圈，从0开始，每次从这个圆圈里删掉第m个数字（存在m大于n的情况），求圆圈里剩下的最后一个数字【题目来源于LeetCode】

我的思路

• 一开始，我觉得这是一个数学问题，想通过找规律的方式总结出结果的计算方法，但天真的我发现就算真的有计算公式，也不是我一时半会能找出来的，于是我想利用循环来解决，大致思路是用一个对应的boolean类型的数组来表示该数是否被删除，被删除的数置为true。用一个变量来记录这是第几个数。循环结束的条件就是只剩下一个数，即数组只有一个位置为false。从0开始循环，根据数组判断该数是否已经被删除，若未被删除则计数加一，直到计数到m，就将该数对应的数组置为true，计数又从0开始。
• 但是这种基于循环的解决方法，在n较大的时候非常的耗时，所以对题目进一步分析后，觉得或许可以利用递归来解决这个问题，但递归一直是我的弱点，虽然知道该用递归，但从哪里下手却毫无头绪，于是我就在网上找对于约瑟夫问题的分析，慢慢理解。

下面是我对约瑟夫问题用递归方法的理解：

从0到n-1一共有n个数，我们要删掉第m个数，那么我们第一个删掉的一定是m%n-1,此时还剩n-1个数，对于这n-1个数，下一次的计数起点一定是m%n，将该数记为k，如果对剩下的这些数重新编号，即k=0，…，就会组成一个新的约瑟夫环，此时就能将其看作一个n-1的子问题，而该子问题的解若为x，那么对于n个数而言，他的解x` = (x+k)%n。
因此，要知道n个数最后的解，我们就需要知道n-1个数最后的解，而n-1个数最后的解又可由n-2个数的解求得，至此递归的基本公式我们已经找到了。
设f(n)——表示n个数，最后剩下的数的值，那么f(n) = ( f(n-1) +m%n )%n，当n=1时，f(n) = 0,到这里递归的基本形式已经推出，接下来就可以写代码了。

我的Java代码

class Solution {
     
    public int lastRemaining(int n, int m) {
     
        if(n==1){
     
            return 0;
        }
        else{
     
            return (lastRemaining(n-1,m)+m%n)%n;
        }
    }
}

后续若有改进方法，将进行更新