算法基础 -- 快速幂算法详解

快速幂算法详解

快速幂（Fast Power或Exponentiation by Squaring）是一种能够在 $O(\log n)$ 时间复杂度内高效计算幂次（如 $a^n$）的算法。相比于朴素的逐次相乘（需要 $O(n)$ 次乘法），快速幂极大地减少了运算次数，尤其当指数 $n$ 较大时更显优势。以下从原理、实现思路及具体示例三个方面详细讲解。

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一、快速幂的基本原理

计算 $a^n$ 时，可以利用以下两个数学性质：

1. 幂的拆分

   • $a^n=a\times a^{n-1}$，如果 $n$ 是奇数；
   • $a^n=(a^{n/2}{)}^2$，如果 $n$ 是偶数。

2. 平方快速翻倍

   如果已经知道 $a^k$，那么：
   $$a^{2k}=(a^k{)}^2$$

通过上述性质，我们可以每次将指数 $n$ 的规模减半，从而实现对数级别的处理。

• 当 $n$ 为偶数：
  $$a^n=(a^{n/2}{)}^2$$
• 当 $n$ 为奇数：
  $$a^n=a\times a^{n-1}$$

通过不断折半，我们最终可以将计算复杂度降低到 $O(\log n)$。

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二、快速幂的实现思路

实现快速幂的方法包括 递归 和 迭代，常用的是基于“二进制指数拆分”的迭代实现。

1. 递归实现

递归的基本思路是不断将 $n$ 按奇偶拆分，直到基准情况（如 $n=0$ 或 $n=1$）。伪代码如下：

function fastPower(a, n):
    if n == 0:
        return 1
    if n == 1:
        return a

    if n is even:
        half = fastPower(a, n // 2)
        return half * half
    else:
        return a * fastPower(a, n - 1)

2. 迭代实现

迭代实现通过“处理指数的二进制位”来实现。思路如下：

1. 准备结果变量 res = 1，初始幂底 base = a。
2. 当 $n>0$ 时，依次处理 $n$ 的二进制最低位：
   • 如果最低位是 1（即 $n$ 为奇数），则更新结果 res = res * base；
   • 无论奇偶，都将 base = base * base；
   • 将 $n$ 右移一位（n >>= 1，即 $n÷2$）。
3. 循环结束时，res 即为最终结果。

伪代码如下：

function fastPowerIterative(a, n):
    res = 1
    base = a
    while n > 0:
        if (n & 1) == 1:
            res = res * base
        base = base * base
        n >>= 1
    return res

3. 快速幂取模

在许多实际问题中，需要计算 $a^n\mathrm{mod}m$。此时可在每次乘法后加入取模操作，避免中间结果过大：

function fastPowerMod(a, n, m):
    res = 1
    base = a % m
    while n > 0:
        if (n & 1) == 1:
            res = (res * base) % m
        base = (base * base) % m
        n >>= 1
    return res

通过每次取模操作，可以确保数值始终在合理范围内，不会溢出。

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三、示例演算

示例 1：递归实现

计算 $3^{13}$：

1. $n=13$ 是奇数，结果为 $3\times 3^{12}$；
2. $3^{12}=(3^6{)}^2$；
3. $3^6=(3^3{)}^2$；
4. $3^3=3\times 3^2$；
5. $3^2=(3^1{)}^2$；
6. $3^1=3$。

最终结果为 $3^{13}=1594323$。

示例 2：迭代实现

计算 $3^{13}$，其二进制表示为 $13=1101_2$：

1. res = 1, base = 3, n = 13(1101)。
2. 低位是 1：更新 res = 1 * 3 = 3；更新 base = 3^2 = 9，右移 $n=110$。
3. 低位是 0：跳过 res 更新；更新 base = 9^2 = 81，右移 $n=11$。
4. 低位是 1：更新 res = 3 * 81 = 243；更新 base = 81^2 = 6561，右移 $n=1$。
5. 低位是 1：更新 res = 243 * 6561 = 1594323；更新 base = 6561^2 = 43046721，右移 $n=0$。
6. $n=0$，循环结束，结果为 $1594323$。

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四、时间复杂度分析

每次将 $n$ 减半，因此时间复杂度为 $O(\log n)$，这是快速幂最显著的优势。

• 递归的空间复杂度：$O(\log n)$（递归深度）。
• 迭代的空间复杂度：$O(1)$（仅需常量存储）。

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五、总结

1. 核心思想：利用幂次的奇偶性和二进制表示，逐步将规模缩小到对数级别。
2. 常见应用：
   • 大数运算：计算 $a^n$ 的值；
   • 模运算：如 $a^n\mathrm{mod}m$；
   • 矩阵快速幂：用于斐波那契数列等问题。
3. 实现要点：
   • 按指数奇偶分类，折半处理；
   • 取模时加上每次乘法后的模操作，防止溢出。