贝塞尔曲线拟合原理

1.什么是贝塞尔曲线？

贝塞尔曲线所依据的最原始的数学公式，是早在1912年就广为人知的伯恩斯坦多项式。简单来说，伯恩斯坦多项式可以用来证明，在[ a, b ] 区间上所有的连续函数都可以用多项式来逼近，并且收敛性很强，也就是一致收敛。再简单点，就是一个连续函数，你可以将它写成若干个伯恩斯坦多项式相加的形式，并且，随着 n→∞，这个多项式将一致收敛到原函数，这个就是伯恩斯坦斯的逼近性质。
到了1959年，当时就职于雪铁龙的法国数学家 Paul de Casteljau 开始对伯恩斯坦多项式进行了图形化的尝试，并且提供了一种数值稳定的德卡斯特里奥（de Casteljau） 算法。根据这个算法，就可以只通过很少的控制点，去生成复杂的平滑曲线，也就是贝塞尔曲线。
而贝塞尔曲线的得名，得归功于1962年就职于雷诺的法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier），他使用这种方法来辅助汽车的车体工业设计，并且广泛宣传，因此大家才都称他为贝塞尔曲线 。

2.贝塞尔曲线是怎么画出来的？

首先，我们在平面内选3个不同线的点并且依次用线段连接。如下所示：

接着，我们在AB和BC线段上找出点D和点E，使得AD/AB = BE/BC：

再接着，连接DE，并在DE上找出一点F，使得DF/DE = AD/AB = BE/BC：

然后，根据我们高中所学的极限的知识，让选取的点D在第一条线段上从起点A，移动到终点B，找出所有点F，并将它们连起来。最后你会发现，你得到了一条非常光滑的曲线，这条就是传说中的，贝塞尔曲线。

二阶贝塞尔曲线动态演示：

三阶贝塞尔曲线动态演示：

四阶贝塞尔曲线动态演示：

五阶贝塞尔曲线动态演示：

所以贝塞尔曲线的厉害之处就在这里，从1-n阶的连续函数，他都可以计算得到一条光滑曲线。

3.贝塞尔曲线的特点和用途？

特点一：曲线通过始点和终点，并与特征多边形首末两边相切于始点和终点，中间点将曲线拉向自己。

特点二：平面离散点控制曲线的形状，改变一个离散点的坐标，曲线的形状将随之改变（点对曲线具有整体控制性）。

特点三：曲线落在特征多边形的凸包之内，它比特征多边形更趋于光滑。

特点四：贝塞尔曲线属于“平均通过”式曲线。

由于贝塞尔曲线控制简便，而且它具有很强的描述能力，因此它在工业设计上已经被广泛使用了。不仅如此，在计算机图形学领域（特别是矢量图形学），贝塞尔曲线也有着举足轻重的地位。而作为程序猿，我们经常会用贝塞尔曲线来绘图（由贝塞尔曲线画出来的图很光滑~），来做动画（很自然的动画）等等。也就是由于它可以发挥的作用领域太广了，因此我们时不时都会听到这个名字。

4.如何用贝塞尔曲线？

首先，要明确的一点是，对于贝塞尔曲线来说，最重要的点是，数据点和控制点。
数据点： 指一条路径的起始点和终止点。
控制点：控制点决定了一条路径的弯曲轨迹。

根据控制点的个数，贝塞尔曲线被分为一阶贝塞尔曲线（0个控制点）、二阶贝塞尔曲线（1个控制点）、三阶贝塞尔曲线（2个控制点）等等。
而系统给我们提供了一个叫做UIBezierPath类，用它可以画简单的圆形，椭圆，矩形，圆角矩形，也可以通过添加点去生成任意的图形，还可以简单的创建一条二阶贝塞尔曲线和三阶贝塞尔曲线。

5.参考资料

http://www.cnblogs.com/zhangrunchao/p/6178366.html

JOHNH.MATHEWS), KURTISD.FINK. 数值方法(MATLAB版)[M]. 电子工业出版社, 2005.