hiho一下 第260周--最大子矩阵

时间限制:10000ms

单点时限:1000ms

内存限制:256MB

描述

给定一个NxM的矩阵A和一个整数K，小Hi希望你能求出其中最大（元素数目最多）的子矩阵，并且该子矩阵中所有元素的和不超过K。

输入

第一行包含三个整数N、M和K。

以下N行每行包含M个整数，表示A。

对于40%的数据，1 <= N, M <= 10  

对于100%的数据，1 <= N, M <= 250 1 <= K <= 2147483647 1 <= Aij <= 10000

输出

满足条件最大的子矩阵所包含的元素数目。如果没有子矩阵满足条件，输出-1。

样例输入

3 3 9
1 2 3  
2 3 4  
3 4 5

样例输出

4 

思路：

首先我们可以枚举矩阵的左边界和右边界，不妨设为L和R。这一步枚举的时间复杂度是O(N^2)。

一旦确定L和R，问题就2维降到了1维。我们令

B[0] = A[0][L] + A[0][L+1] + ... + A[0][R]
B[1] = A[1][L] + A[1][L+1] + ... + A[1][R]
....
B[N-1] = A[N-1][L] + B[N-1][L+1] + ... + B[N-1][R]

经过O(N^2)的预处理前缀和之后，B数组的每一项可以O(1)求得。这里不再赘述。

原问题就转化为求B中最长的连续子数组，满足子数组的和不超过K。

注意到矩阵A中的元素都是正整数，所以B数组中的元素也都是正整数。于是我们就可以用双指针(也被称为滑动窗口)的方法解决B数组的问题：

初始时i=j=0

只要B[i] + ... + B[j]的和小于等于K就令j累加1;否则令i累加1。  

直到i==N。在此过程中，j-i的最大值就代表了最长的子数组。

AC代码：

#include
using namespace std;
int n,m,k;
int a[300][300];
int sum[300][300];
int b[300];
int fun(){
	int dp[300];
	dp[0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) dp[i]=dp[i-1]+b[i];
	int i=1,j=1;
	int ans,u=0;
	while(i<=n && j<=n){
		ans=dp[j]-dp[i-1];
		if(ans<=k){
			u=max(u,j-i+1);
			j++;
		}
		else i++;
	}
	return u;
}
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	memset(sum,0,sizeof(sum));
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			scanf("%d",&a[i][j]);
			sum[i][j]=sum[i][j-1]+a[i][j];
		}
	}
	int ans=-1;
	for(int L=1;L<=m;L++){
		for(int R=L;R<=m;R++){
			for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=sum[i][R]-sum[i][L-1];
			int y=fun();
			if(y!=0) ans=max(ans,y*(R-L+1));
		}
	}
	printf("%d\n",(ans<=0?-1:ans));
	return 0;
}