[2021校招必看之Java版《剑指offer》-46] 孩子们的游戏(圆圈中最后剩下的数)

1、题目描述

  【JZ46】每年六一儿童节,牛客都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为牛客的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始报数。每次喊到m-1的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续0…m-1报数…这样下去…直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!^_)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？(注：小朋友的编号是从0到n-1)
  知识点：数组，链表，递归
  难度：☆☆

2、解题思路

  题目抽象：给定一个由[0...n-1]构成的数组，第一次从0开始数m个数，然后删除，以后每次都从删除的数下一个位置开始数m个数，然后删除，直到剩余一个数字，找出那个数字。如果不存在这个数字，则返回-1。

2.1 模拟法

  定义一个单向链表，链表第0个元素值为0、第1个值为1、。。。以此类推，链表的每个元素的值就表示小朋友的编号。
  定义两个整型变量start和end用来记录开始位置和要删除的位置。
  1、start = 0，end = start + m - 1，list.remove(end)；
  2、start = end，end = start + m - 1；list.remove(end);
  然后循环第二步，直到链表元素剩下一个，该元素的值就是答案。
  注意，每一次计算end，都必须判断end有没有超过索引边界。因此，每次执行end = start + m - 1后，再执行一次判断end > list.size() - 1，如果为true，则end = end - list.size()，然后重复判断，直到判断结果为false，再执行list.remove(end)。

2.2 递归法

  假设f(n, m)表示最终留下元素的序号。比如上例子中表示为:f(5,3) = 3。
  第一次删除时，起点为0，第一个要删除的编号为(0+m)%n。
  如果最后剩下两个元素，最后要删除的元素取决于当前的起点在哪，也就是上一次删除的是哪个编号，如果上一次删除的编号是x，那么现在最后一个要删除的编号就为(m + x) % n。
  即：f(n, m) = (m + x) % n
  这个x为上一次删除的编号，也就是说，x为f(n-1,m)的取值。看到这里可能会很迷惑，其实很简单，也就是说，如果只有n-1个编号，这个x就是最终留下的元素序号，可是现在是n个编号，所以这个x就是被删除的对象。
  即：f(n, m) = (m + f(n-1, m)) % n且f(1,m)=0。

2.3 迭代法

  上面的递归法比较占用内存，可以使用迭代的方法进行改进。
  由递归法可以看出：
  f(1,m) = 0;
  f(2,m) = (f(1,m)+m)%2;
  f(3,m) = (f(2,m)+m)%3;
  …
  f(n,m) = (f(n-1,m)+m)%n;
  迭代就是每一个取值都依赖于上一个取值。把f(n,m)看成index_cur，就有：index_cur = (index_last+m)%n

3、解题代码

3.1 模拟法

package pers.klb.jzoffer.medium;

import java.util.LinkedList;

/**
 * @program: JzOffer2021
 * @description: 孩子们的游戏（模拟法）
 * @author: Meumax
 * @create: 2020-06-21 20:21
 **/
public class ChildrensPlay {
     

    public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
     

        if (n == 0 | m == 0) {
     
            return -1;
        }

        LinkedList<Integer> list = new LinkedList<>();

        // 赋值编号
        for (int i = 0; i < n; i++) {
     
            list.add(i);
        }

        // 起始位置和删除位置
        int start = 0;
        int end;
        // 开始游戏
        while (list.size() != 1) {
     
            end = start + m - 1;
            while (end > list.size() - 1) {
     
                end = end - list.size();
            }
            list.remove(end);
            start = end;
        }

        return list.getFirst();
    }
}

  时间复杂度：O(N²), 每次删除一个节点，需要先找到那个节点，然后再删除，查找的时间复杂度为O(N)。
  空间复杂度：O(N)。

3.2 递归法

package pers.klb.jzoffer.medium;

/**
 * @program: JzOffer2021
 * @description: 孩子们的游戏（递归法）
 * @author: Meumax
 * @create: 2020-06-21 20:21
 **/
public class ChildrensPlay {
     

    public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
     
        if (n <= 0 | m < 1) {
     
            return -1;
        }
        return f(n, m);
    }

    private int f(int n, int m) {
     
        // 如果只有一个元素0，就返回这个元素的编号0
        if (n == 1) {
     
            return 0;
        }
        return (f(n - 1, m) + m) % n;
    }
}

  时间复杂度：O(N)
  空间复杂度: O(N)

3.3 迭代法

package pers.klb.jzoffer.medium;

/**
 * @program: JzOffer2021
 * @description: 孩子们的游戏（迭代法）
 * @author: Meumax
 * @create: 2020-06-21 20:21
 **/
public class ChildrensPlay {
     

    public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
     
        if (n <= 0) {
     
            return -1;
        }
        int index = 0;

        for (int i = 2; i <= n; i++) {
     
            index = (index + m) % i;
        }

        return index;
    }
}

  时间复杂度：O(N)
  空间复杂度: O(1)

4、解题心得

  这种场景性比较强的题，可以先从模拟法入手。
  递归法比较难想，如果是面试，能想出递归还是比较厉害的，先从每一步得到答案需要什么条件入手，再分析这些条件如何获取，一步步勾勒出递归的写法，最后找出递归的结束条件。
  如果递归法已经解出来，那么迭代法纯粹就是一种调优，基本上呼之即出。