面试题60. n个骰子的点数

面试题60. n个骰子的点数 【简单题】【动态规划】

把n个骰子扔在地上，所有骰子朝上一面的点数之和为s。输入n，打印出s的所有可能的值出现的概率。

你需要用一个浮点数数组返回答案，其中第 i 个元素代表这 n 个骰子所能掷出的点数集合中第 i 小的那个的概率。

输入: 1
输出: [0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667]

输入: 2
输出: [0.02778,0.05556,0.08333,0.11111,0.13889,0.16667,0.13889,0.11111,0.08333,0.05556,0.02778]

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题目讲解

解法1：动态规划（二维数组）

【核心思想】

• f(n,s)=f(n-1,s-1)+f(n-1,s-2)+f(n-1,s-3)+f(n-1,s-4)+f(n-1,s-5)+f(n-1,s-6)

【数据结构】

• 二维数组

【思路】

• 确定问题解的表达式。可将f(n, s) 表示n个骰子点数的和为s的排列情况总数
• 确定状态转移方程。n个骰子点数和为s的种类数只与n-1个骰子的和有关。因为一个骰子有六个点数，那么第n个骰子可能出现1到6的点数。所以第n个骰子点数为1的话，f(n,s)=f(n-1,s-1)，当第n个骰子点数为2的话，f(n,s)=f(n-1,s-2)，…，依次类推。在n-1个骰子的基础上，再增加一个骰子出现点数和为s的结果只有这6种情况！那么有：f(n,s)=f(n-1,s-1)+f(n-1,s-2)+f(n-1,s-3)+f(n-1,s-4)+f(n-1,s-5)+f(n-1,s-6)
• 上面就是状态转移方程，已知初始阶段的解为：当n=1时, f(1,1)=f(1,2)=f(1,3)=f(1,4)=f(1,5)=f(1,6)=1。

【代码】

public double[] twoSum(int n) {
     
    int[][] dp=new int[n+1][6*n+1];
    double[] ans=new double[5*n+1];
    double all=Math.pow(6,n);
    for(int i=1;i<=6;i++)
        dp[1][i]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
     
        for(int j=i;j<=6*n;j++){
     
            for(int k=1;k<=6;k++){
     
                dp[i][j]+=j>=k?dp[i-1][j-k]:0;
                if(i==n)
                    ans[j-i]=dp[i][j]/all;
            }
        }
    }
    return ans;
}

【备注】

• 由于每个dp[i][j]只于i-1时刻的状态有关，所以可以删去一个维度，简化算法

解法2：动态规划（一维数组）

【数据结构】

• 一维数组

【思路】

• 在上述解法的基础上，删去一个维度
• 第二个循环从后往前遍历，避免覆盖

【代码】

public double[] twoSum(int n) {
     
    if(n==0)
        return new double[0];
    double[] dp=new double[6*n+1];
    double[] ans=new double[5*n+1];
    double all=Math.pow(6,n);
    for(int i=1;i<=6;i++){
     
        dp[i]=1;
        ans[i-1]=1.0/6;
    }
    for(int i=2;i<=n;i++){
     
        for(int j=6*n;j>=1;j--){
     
            int temp=0;
            for(int k=1;k<=6;k++){
     
                temp+=(j>=k)?dp[j-k]:0;
            }
            dp[j]=temp;
            if(i==n && j>=n){
     
                ans[j-i]=dp[j]/all;
            }
        }
    }
    return ans;
}

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