零钱兑换II--动态规划思路解决相似问题

本文代码采用C++

0x01.问题

 给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。 

输入示例：5  1 2  5

输出示例：4

解释：有四种方式可以凑成总金额

5=5   5=2+2+1   5=2+1+1+1   5=1+1+1+1+1

C++函数形式为       int change(int amount, vector& coins) 

阅读本文之前，可以先参考：零钱兑换问题--探索动态规划的基本思想 

 0x02.分析问题

这是零钱兑换问题的升级版，我们来比较一下和之前的题目有什么差异，之前是求兑换到指定金额最少需要多少硬币，而这次是有多少种零钱组合可以兑换到指定的金额，一个求最小值，一个求组合数。

我们继续回想之前解决这个问题的思路，状态为dp[i]表示达到金额 i 最少需要的硬币数，状态转移方程为 DP[i]=min{DP[i]，DP[i-coin]+1}，思路就是金额要到 i ，我们可以假设先用掉一种零钱，然后看达到金额 i-coin 最少需要的硬币数，依次不断的迭代，把所有情况考虑完，找出里面所需硬币数最少的一个。

我们再来看这个问题，发现是不是很相似，他们的最终条件是一样的，就是一定数量的零钱兑换指定的金额，不过之前那个题中，重点考虑最少需要的硬币数，而这个题需要求出所有的组合数，事实上，在上个题的思路中，是已经考虑到了所有组合数的可能得，为什么呢？因为要求出最小的，肯定所有组合数都要考虑一遍，才能找出最小的呀，我们发现这两个题思路如此相像，那么我们可以通过改变上个题的某些特征，来完成这个问题。

首先，状态肯定要变，dp[i]应该表示，兑换金额 i 可能得硬币组合数。

其次状态转移方程，肯定不是求最小的了，而是累加，加什么呢？就是加用掉一个硬币后，达到那个金额的组合数，我们可以写出状态转移方程：

DP[I]+=DP[i-coin]

初始条件，dp[0]=1。

具体循环思路还是一样，外层循环每个金额，内层循环每种硬币。

0x03.代码--一维动态规划

int change(int amount, vector& coins) {
	vector dp(amount + 1, 0);
	dp[0] = 1;
	for (int coin : coins) {
		for (int a = coin; a < amount + 1; a++) {
			dp[a] += dp[a - coin];
		}
	}
	return dp[amount];
}

0x04.动态规划思路解决相似问题

• 很多动态规划问题的模型都是非常经典的，所以有很多人就会在这些模型的基础上加以改变，就成了新的问题。
• 面对这些看似新的问题，不要慌，只要能找出和以前解决过的问题的某些相似性，你就可以利用之前的动态规划的思路，加以改变，去解决新的问题。

 

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ATFWUS  --Writing  By 2020--03--15