LeetCode312：Burst Balloons

Given n balloons, indexed from 0 to n-1. Each balloon is painted with a number on it represented by array nums. You are asked to burst all the balloons. If the you burst balloon i you will get nums[left] * nums[i] * nums[right] coins. Here left and right are adjacent indices of i. After the burst, the left and right then becomes adjacent.

Find the maximum coins you can collect by bursting the balloons wisely.

Note:

• You may imagine nums[-1] = nums[n] = 1. They are not real therefore you can not burst them.
• 0 ≤ n ≤ 500, 0 ≤ nums[i] ≤ 100

Example:

Input: [3,1,5,8]
Output: 

Input: [3,1,5,8]
Output: 167 
Explanation: nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] -->   [3,8]   -->  [8]  --> []
             coins =  3*1*5      +  3*5*8    +  1*3*8      + 1*8*1   = 167

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LeetCode：链接

先理解一个事情，就是把整个数列看做一个整体，那么最优解值，一定是最后一个气球i值（i 是未知的），加上以i为分界线，左右两个区间的最优解。不难理解，最后就剩下一个气球时，很显然，把两边的最优解加上最后一个气球值，就是整体的最优解。

问题：最后被戳破的气球i是哪一个？因为已经知道区间内的所有数字，那么就可以枚举这些数字，找到最优的那个i 。这类问题一般归为区间 dp 。

问题：左右小区间的最优解如何确定？那么从最小区间开始计算，通俗的讲，先计算长度2的小区间，然后依次增加区间的长度。每次计算时，小区间就像一个滑动窗口，例如从长度为2的小区间作为一个窗口，从左向右依次滑动，求出所有小区间的最优解保存到dp[l][r]中。 
可以看出计算过程是自底向上的。所以dp[l][r]只用到了上三角的空间(l < r)。

（4）dp状态转换方程：

dp[left][right] = max(dp[left][right], nums[left] * nums[i] * nums[right] + dp[left][i] + dp[i][right])

dp[left][right]，表示区间left-->right的最优解（不包括，left和right 两个边界）

nums[left] * nums[i] * nums[right]，表示最后一个被戳破的气球的得分，为什么要乘上两个边界值？因为它是最后一个被戳破的气球，整体来看，最后就剩下一个，就是乘上两个1，在子区间内，就是乘上两边的边界值了。

max(dp[left][right], nums[left] * nums[i] * nums[right] + dp[left][i] + dp[i][right])，表示从区间内开始枚举i，计算出本次区间的最优解。

class Solution(object):
    def maxCoins(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        # 清除为0的数字，因为0不会得分，然后首尾添加[1],方便计算
        nums = [1] + [i for i in nums if i > 0] + [1]
        n = len(nums)
        # 初始化dp
        dp = [[0] * n for i in range(n)]
        # k 确定一个滑动窗口的大小，从2开始
        for k in range(2, n):
            # 滑动窗口，从左向右滑动，确定区间的开始（left）、结束（right）位置
            for left in range(0, n-k):
                right = left + k
                # 开始枚举，区间内哪一个数字作为最后一个被戳破，使其得分最高
                for i in range(left+1, right):
                    dp[left][right] = max(dp[left][right], nums[left] * nums[i] * nums[right] + dp[left][i] + dp[i][right])
        return dp[0][n-1]