关于被忽略的转置矩阵的公式

关于转置的公式常用的有：

(AB)T=BTAT,(AT)T=A,(kA)T=kAT

有一个非常不同于逆与伴随的是：
(A+B)T=AT+BT

由此引申出来的有：
(A−E)T=AT−ET

看一个例子：
设A是奇数阶矩阵， AAT=ATA=E,|A|>0 ,则 |A−E|=?

分析：这里就用到了上面那个被忽视的公式，或者说转置的性质。

|A−E|=|A−AAT|=|A||E−AT|=|A||ET−AT|=|A||(E−A)T|=|A||E−A|;|A−E|=|A−AAT|=|A||E−AT|=|A||AT||A−E|=|A|2|A−E|→|A|2=1,即|A|=1

从而 |A−E|=|E−A|;(1) 这是通过一系列运算得到的性质。而 |A−E|=|−(E−A)|=(−1)n|E−A|,n是奇数

所以 |A−E|=−|E−A|;(2)
由(1),(2)可以得知： |A−E|=0