经典算法大全51例——2.斐波那契数列(兔子数列)

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说明

  该地址指向所有由本人自己所经历的算法习题(也有可能仅仅是一个入门的案例或者是经典案例)，仅仅为我做过而且比较有意思的，也许还会有一些我自己想出来的，出于兴趣写在这里,具体格式我会在下面列明，总目录也会在这里出现，方便查阅以及自己进行复习回顾。

题目

  Fibonacci为1200年代的欧洲数学家，在他的着作中曾经提到：「若有一只免子每个月生一只小免子，一个月后小免子也开始生产。起初只有一只免子，一个月后就有两只免子，二个月后有三只免子，三个月后有五只免子（小免子投入生产）……类似的道理也可以用于植物的生长，这就是Fibonacci数列，一般习惯称之为费氏数列，例如以下： 1、1 、2、3、5、8、13、21、34、55、89……

原理分析

  斐波那契数列是一个非常有意思的数列，只不过它是由Fibonacci从一个兔子问题引出的，所以又叫做兔子数列。我们从最基本的数学思维来入手，我们第一次接触的数列是什么？等差、等比，所以一切数列我们都可以在次基础上演化，思考，去寻找规律。
  而对于这个题，我们先看看Fibonacci是怎么引入这个问题的，首先，小兔子不生，一个后变成大兔子，大兔子会生，并且没有空怀期，也就是说每天增加的数量是前一天的大兔子数量，那么也就定性了——这不太可能是一个以乘积为规则的数列，明显是要以差值来进行约束变化规则的。
  有了方向，我们就要开始对数列进行分析了：1、1 、2、3、5、8、13、21、34、55。这列数字的特点一眼看不出来，那就试试后项减去前项，寻找他们的差有没有什么特点：他们的差组成的数列如下：0、1、1、2、3、5、8、13、21，等等！！ 你们看出了什么？没错，这组数列的差居然除了第一项和原数列相同：

  从表格看，也就是说：

f₁ (1) + f₂ (1) = f₁ (2)
f₁ (2) + f₂ (2) = f₁ (3)
f₁ (3) + f₂ (3) = f₁ (4)
……
f₁ (n-1) + f₂ (n-1) = f₁ (n)

  以此类推，那么既然差数列和原数列长的一样，何不把 f₂ (n)替换成 f₁ (n)呢，于是上面表达式可以变形为：

f₁ (1) + 0 = f₁ (2) 因为第一个f₂ 并没有与之对应的f₁ ，所以直接用数值表示
f₁ (2) + f₁ (1) = f₁ (3)
f₁ (3) + f₁ (2) = f₁ (4)
……
f₁ (n-1) + f₁ (n-2) = f₁ (n)

  所以就得出了核心的表达式：

• f(n) = f(n - 1) + f(n - 2) ( n > 1)
• f(n) = n ( n =1 , 0)

代码实现——Java

/**
 * @author g55zhw93
 */
public class Fibonacci{
     
    public int climbStairs(int n) {
     
        int result = 0;
        if (n < 0) {
     
            return 0;
        }
        if (n == 0 || n == 1) {
     
            return 1;
        }
        int[] values = new int[n + 1];
        values[0] = 1;
        values[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
     
            values[i]=values[i-1]+values[i-2];
        }
        return values[n];
    }

相关题目其他变形：

1.爬楼梯（来源：力扣LeetCode）

  第一个典型变形就是爬楼梯的问题，题目详见——力扣——70.爬楼梯(简单难度)——学会将实例化的问题剖析为规律性问题；
  其实这里用到的思想是一个类似于递归的思想，但是解题时候并不需要递归；

这道题其实可以分成多个子问题，爬第n阶楼梯的方法数量，等于 2 部分之和，即：
爬上 n−1 阶楼梯的方法数量。因为再爬1阶就能到第n阶
爬上 n−2 阶楼梯的方法数量，因为再爬2阶就能到第n阶
也就是说， f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)

  这不就转化成了斐波那契数列问题了。这里仅仅做一个简单的分析，全面分析在上面文章有，有兴趣的可以看看

2.兔子成熟期拉长

  这个变形是我自己瞎想的，总得给自己找点儿事儿不是？原题是一月一成熟，那么我们一点儿一点儿增加，先看看2月一成熟的情况：

  从表格看，可以得出

f₁ (1) + f₂ (1) = f₁ (2)
f₁ (2) + f₂ (2) = f₁ (3)
f₁ (3) + f₂ (3) =f₁ (4)
……
f₁ (9) + f₂ (9) = f₁ (10)
f₁ (10) + f₂ (10) = f₁ (11)
……
f₁ (n-1) + f₂ (n-1) =f₁ (n)

  以此类推，那么既然差数列和原数列长的一样，何不把 f2 (n)替换成 f1 (n)呢，于是上面表达式可以变形为：

f₁ (1) + 0 = f₁ (2)
f₁ (2) + 0 = f₁ (3)
f₁ (3) + f₁ (1) = f₁ (4)
……
f₁ (9) + f₁ (7) = f₁ (10)
f₁ (10) + f₁ (8) = f₁ (11)
……
f₁ (n-1) + f₁ (n-3) = f₁ (n)

  从表格看，可以得出

f₁ (1) + f₂ (1) = f₁ (2)
f₁ (2) + f₂ (2) = f₁ (3)
f₁ (3) + f₂ (3) =f₁ (4)
……
f₁ (9) + f₂ (9) = f₁ (10)
f₁ (10) + f₂ (10) = f₁ (11)
……
f₁ (n-1) + f₂ (n-1) =f₁ (n)

  以此类推，那么既然差数列和原数列长的一样，何不把 f2 (n)替换成 f1 (n)呢，于是上面表达式可以变形为：

f₁ (1) + 0 = f₁ (2)
f₁ (2) + 0 = f₁ (3)
f₁ (3) + 0 = f₁ (4)
……
f₁ (9) + f₁ (6) = f₁ (10)
f₁ (10) +f₁ (7) = f₁ (11)
……
f₁ (n-1) + f₁ (n-4) = f₁ (n)

  后面就继续写了，我们发现了一个规律：

m月一成熟	兔子在n月的数目表达式
1	f1 (n-1) + f1 (n-2) = f1 (n)
2	f1 (n-1) + f1 (n-3) = f1 (n)
3	f1 (n-1) + f1 (n-4) = f1 (n)
……	……
m	f1 (n-1) + f1 (n - 1 - m) = f1 (n)

  迎刃而解~~~~

官方题解

分析

  依说明，我们可以将费氏数列定义为以下：

• f(n) = f(n - 1) + f(n - 2) ( n > 1)
• f(n) = n ( n =1 , 0)

代码——C语言

#include 
#define N 20

int main(void) {
     
	int Fib[N] = {
     0};
	int i;
	Fib[0] = 0;
	Fib[1] = 1;
	for(i = 2; i < N; i++)
		Fib[i] = Fib[i-1] + Fib[i-2];
	for(i = 0; i < N; i++)
		printf("%d ", Fib[i]);
		printf("\n");
	return 0;
}

拓展

  说完了正儿八经的东西，想给大家看点儿其他的东西：

1.黄金矩形

  这个其实是斐波那契数列的另一种解题思路：下一个正方形面积的边长肯定是之前的两个边长之和，这样拼成的矩形又被称为斐波那契矩形，而这个矩形随着数列的递增，其实是越来越接近黄金矩形的：

2.等角螺线

  由这个矩形中的正方形画出的弧，构成的曲线又叫做等角螺线，随着矩形的增大，这个图形就会变的非常好看：

  自然界中很多蜗牛，海里的壳类生物都拥有这种黄金分割的自然之美

3.设计

  同时也有很多人，把这种黄金分割用于设计：


  不得不说，大神之所以是大神，是因为人家确实是大神，哈哈哈哈，这不禁让我想起了鲁迅的名句:：“数学的应用并不唯一，我只觉得NB！！！”