CodeForces 294 C.Shaass and Lights（组合数学）

Description

给出一排灯，用 01 表示灯的开关状态， 0 表示灯关， 1 表示灯亮，每次可以打开之前是关闭状态的且其旁边有打开状态灯的灯，问有多少种方案可以把所有灯打开

Input

第一行两个整数 n,m 表示灯的数量和打开灯的数量，之后输入 m 个整数表示这 m 个开着灯的位置 (1≤n≤1000,1≤m≤n)

Output

输出方案数，结果模 109+7

Sample Input

3 1

1

Sample Output

1

Solution

假设这些开着的灯的位置为 a1<a2<...<am ，对于两端的没开的灯，只能从 a1 开始往前开，从 am 开始往后开，而中间的没开的灯，可以从 ai 往 ai+1 开，也可以从 ai+1 往 ai 开，先考虑开 ai ~ ai+1 这段没开的 ai+1−ai−1 个灯，每次可以从两边选一个开开，只有一个的时候只能开这个，故方案数为 2min(ai+1−ai−2,0) ，而每一段相互独立，每次可以选择一段去开一个灯，方案数为多项式系数 (a1−1a2−a1−1n−m...an−an−1−1n−an)

Code

#include
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#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=1005;
#define mod 1000000007
int fact[maxn],inv[maxn],f2[maxn];
void init(int n=1000)
{
    f2[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)f2[i]=2*f2[i-1]%mod;
    fact[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)fact[i]=(ll)i*fact[i-1]%mod;
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=mod-(ll)(mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    inv[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)inv[i]=(ll)inv[i-1]*inv[i]%mod;
}
int n,m,a[maxn];
int main()
{
    init();
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d",&a[i]);
        sort(a+1,a+m+1);
        int ans=1;
        for(int i=1;i1]-a[i]-2,0)]%mod;
        ans=(ll)ans*fact[n-m]%mod;
        a[0]=0,a[m+1]=n+1;
        for(int i=1;i<=m+1;i++)ans=(ll)ans*inv[a[i]-a[i-1]-1]%mod;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}