对数线性模型、最大熵马尔科夫模型和条件随机场(翻译) 一

1. 符号

整篇文章里，使用下划线表示向量，例如$\underline{\omega }\in {\mathbb{R}}^d$是由${\omega }_1,{\omega }_2,\dots {\omega }_d$
组成的向量。$exp(x)=e^x$。

2.对数线性模型

    给定两个集合$\mathcal{X}$和$\mathcal{Y}$,假设$\mathcal{Y}$是有限集合，我们的目标是构建一个可以估计给定一个输入$x$得到标签$y$的条件概率$p(y|x)$的模型。例如，$x$可以是一个单词，$y$是这个单词的词性（名词、动词、介词等）。我们定义函数$\underline{\varphi }:\mathcal{X}\times \mathcal{Y}\to {\mathbb{R}}^d$，同时假设参数向量$\underline{\omega }\in {\mathbb{R}}^d$,在这些假设下对数线性模型可以表示为
$$p(y|x)=\frac{exp(\underline{\omega }\cdot \underline{\varphi }(x,y))}{{\sum }_{y^{\prime }\in \mathcal{Y}}exp(\underline{\omega }\cdot \underline{\varphi }(x,y^{\prime }))}$$
这就是在参数$\underline{\omega }$下，给定$x$条件$y$的概率。

使用这个表达式来表示这个模型的原因如下。内积$\underline{\omega }\cdot \underline{\varphi }(x,y)$可以是任意值（正的或者负的），可以解释为给定输入$x$标签是$y$的合理性度量。对每个给定的输入$x$,我们可以对每个可能的标签$y\in \mathcal{Y}$计算这个内积。我们可以将这些量转换为一个定义良好的概率分布$p(y|x)$。如果对内积取幂，$exp(\underline{\omega }\cdot \underline{\varphi }(x,y))$,就得到了一个严格正的量，最后除以一个标准化常数${\sum }_{y^{\prime }\in \mathcal{Y}}exp(\underline{\varphi }(x,y^{\prime }))$,这确保了${\sum }_{y\in \mathcal{Y}}p(y|x;\underline{\omega })$。这样我们就将可正可负的内积$\underline{\omega }\cdot \underline{\varphi }(x,y)$变成了一个概率分布。

一个重要的问题是我们怎样从数据估计出参数$\underline{\omega }$。接下来我们讨论这个问题。

对数似然函数。为了估计这个参数，假设我们有n组打好标签的样本，$\{x_i,y_i{\}}_{i=1}^n$。似然函数就是
$$\mathcal{L}(\underline{\omega })=\sum _{i=1}^n\log p(y_i|x_i;\underline{\omega })$$

$\mathcal{L}(\underline{\omega })$是对给定的$\underline{\omega }$解释这些样本的一个度量，一个好的$\underline{\omega }$应该会给每个$p(y_i|x_i;\underline{\omega })i=1\dots 2$ 赋予一个较大的值，从而使$\mathcal{L}(\underline{\omega })$也较大。

最大似然估计是
$${\underline{\omega }}^{\ast }=arg\underset{\underline{\omega }\in {\mathbb{R}}^d}{\max }\sum _{i=1}^n\log p(y_i|x_i;\underline{\omega })$$

最大似然估计是在$\mathcal{L}(\underline{\omega })$评判标准下，求出对训练集拟合最好的参数的一种方法。

找出最大似然估计。给定训练集$\{x_i,y_i{\}}_{i=1}^n$，我们怎样找出最大似然参数估计${\underline{\omega }}^{\ast }$呢？不幸的是，解析解在一般情况下并不存在，通常使用基于梯度的方法来最优化$\mathcal{L}(\underline{\omega })$。最简单的方法就是梯度上升法，大致使用如下步骤：

1. 初始化${\underline{\omega }}^0$，比如设${\underline{\omega }}_j^{0}j=1\dots d$

2. For t=1…T:

   • For j=1…d：
     $${\omega }_j^t={\omega }_j^{t-1}+{\alpha }_t\times \frac{\partial }{\partial {\omega }_j}\mathcal{L}({\underline{\omega }}^{t-1})$$
     其中${\alpha }_t$是学习率，$\frac{\partial }{\partial {\omega }_j}\mathcal{L}({\underline{\omega }}^{t-1})$是$\mathcal{L}$相对于${\omega }_j$的偏导数。

3. 返回最终的参数${\underline{\omega }}^T$

实践中，有更多精妙的最优化方法可以使用：一个共同的选择是使用L-BFGS（一种拟牛顿法），这里就不去探究这种方法的细节了。好消息是很多软件的L-BFGS是直接可用的，实现L-BFGS需要我们计算目标函数$\mathcal{L}(\underline{\omega })$，和它的偏导数$\frac{\partial }{\partial {\omega }_j}\mathcal{L}(\underline{\omega })$。所幸，这很容易计算：

$$\frac{\partial }{\partial {\omega }_j}\mathcal{L}(\underline{\omega })=\sum _i{\varphi }_j(x_i,y_i)-\sum _i\sum _{y}p(y|x_i;\underline{\omega }){\varphi }_j(x_i,y)$$

第一个求和项${\sum }_i{\varphi }_j(x_i,y_i)$，将所有样本$\{x_i,y_i{\}}_{i=1}^n$的第j个特征${\varphi }_j(x_i,y_i)$求和。第二个求和项对所有样本的第j个特征的期望${\sum }_{y}p(y|x_i;\underline{\omega }){\varphi }_j(x_i,y)$求和。

正则化对数似然函数。在很多应用，在对数似然函数中加上额外的正则项是非常有好处的。修改后的函数变为：

$$\mathcal{L}(\underline{\omega })=\sum _{i=1}^n\log p(y_i|x_i;\underline{\omega })-\frac{\lambda }{2}||\underline{\omega }|{|}^2$$

这里$||\underline{\omega }|{|}^2={\sum }_i{\omega }_i^2$,$\lambda$是一个超参数，决定正则项的强度。还是和上面一样，我们所求的参数为：

$${\underline{\omega }}^{\ast }=arg\underset{\underline{\omega }\in {\mathbb{R}}^d}{\max }\mathcal{L}(\underline{\omega })$$
此时，在估计参数时有一个权衡取舍，我们想使$\log p(y_i|x_i;\underline{\omega })$尽量大，但同时还要保持范数$||\underline{\omega }|{|}^2$尽量小（$\lambda$越大，则我们希望范数越小）。正则项惩罚大的参数值。

直觉上，我们可以认为正则项是对复杂模型的一个惩罚，参数越大，模型越复杂。我们想要寻找可以很好拟合样本的模型，但我们也不想模型过于复杂（过拟合）

在实践中，往对数线性模型添加正则项是非常有用的。特别是在d很大时，这种场景在自然语言处理程序中是非常常见的，甚至d比训练样本数n还大的情况也存在，在这些情况下只要添加正则项惩罚大的参数值，我们还是可以获得较好的泛化性能。

寻找最优化参数
${\underline{\omega }}^{\ast }=arg{\max }_{\underline{\omega }\in {\mathbb{R}}^d}\mathcal{L}(\underline{\omega })$还是可以使用基于梯度的方法，只需稍微修改偏导数公式为：

$$\frac{\partial }{\partial {\omega }_j}\mathcal{L}(\underline{\omega })=\sum _i{\varphi }_j(x_i,y_i)-\sum _i\sum _{y}p(y|x_i;\underline{\omega }){\varphi }_j(x_i,y)-\lambda {\omega }_j$$