递归求解复杂的枚举问题

一、问题概述

    枚举就是列举出所有的情况。数据量较小时，比较容易列举，但是随着数据量增大，如果依然一一列举，可能会出现遗漏的情况，导致出错，这时候就可以考虑使用递归的方式进行，寻找递推关系。比如先获得数据规模是n-1的所有情况，那么求n就只需要在n-1的基础上做一些修改即可，这样就大大简化了问题，但是如果递归深度较大，可能会产生内存溢出的问题。

    对于枚举问题，递归是一个较容易想到的解题思路，适用于枚举数据量大、易出错、有递归关系的应用场景，先求数据规模小的所有情形，在此基础上经过一系列简单的操作，获得数据规模大的所有情形。

二、常见问题总结

1、有效的括号序列

需求：

    求n个括号组成的所有有效序列。比如n=2，有效序列有：(())，()()。

思路：

    这个一个枚举的题目，求n个括号的有效序列，如果直接列举，很容易出错，这种题目可以试图寻找递归关系，考虑递归的方式求解。

    不难发现，n个括号组成的有效序列，可以看成是在n-1个括号组成有效序列的基础上再添加一个括号，我们只需要获得n-1的所有序列，然后在每个序列的任意位置插入左括号，然后在左括号的右边任意位置插入右括号即可得到有效的序列。假设序列s是n-1个括号的有效序列，那么从s的0到s.length()-1，都可以插入左括号，比如插入的位置是i，那么从i+1到s.length()插入右括号即可得到一个有效序列。注意，添加完括号之后要记得删除，以便插入到新的位置。

代码：

import java.util.*;

class ValidParenthesesSequence{
	//求n个括号组成的所有有效序列，n>=0
	public List getSeq(int n){
		List res = new LinkedList();

		//如果n==0，那么就没有这样的序列，直接返回res即可
		if(n == 0)
			return res;
		
		//如果n==1，那么只有一种情况，添加之后返回即可
		if(n == 1){
			res.add("()");
			return res;
		}

		//获取n-1个括号的有效序列
		List pre = getSeq(n-1);
		
		//遍历每个字符串，进行括号的插入
		for(String str : pre){
			//方便处理字符串
			StringBuilder sb = new StringBuilder(str);

			for(int i = 0; i < sb.length(); i++){
				sb.insert(i, '(');//插入左括号

				for(int j = i+1; j < sb.length()+1; j++){
					sb.insert(j, ')');//插入右括号

					//sb就是有效的序列，如果res不包含这个序列，就添加
					if(!res.contains(sb.toString()))
						res.add(sb.toString());

					sb.deleteCharAt(j);//将插入的右括号删除，以便在新的位置上插入右括号
				}

				sb.deleteCharAt(i);//将插入的左括号删除，以便在新的位置上插入左括号
			}
		}

		return res;
	}

	public static void main(String[] args){
		Scanner scan = new Scanner(System.in);

		while(scan.hasNext()){
			int n = scan.nextInt();

			List list = new ValidParenthesesSequence().getSeq(n);

			System.out.println(n+"个括号的有效序列 = "+list);
		}
	}
}

运行结果：

2、求和是m的所有组合情况

需求：

    用k个0-9的和表示m，返回所有的组合情况。比如k=2，m=4，那么所有的组合情况有：[0, 4] [1, 3] [2, 3]

思路：

    1、边界条件处理

        首先要考虑k个0-9的和是否能够表示m，k个0-9能够表示的数据范围是[0, 9*k]，如果m超过这个范围，就无法表示。

    2、特殊值处理

        如果m==0或者m==9*k，那么只有一种表示情况，可以直接对这两个值进行处理。m等于0的时候，就是k个0，m等于9*k的时候，就是k个9。

    3、正常值处理

        如果0

注意：

    在集合嵌套集合的时候，要格外注意，不可以使用add方法把用来遍历的变量添加到外层集合中。看以下实例：

List> list1 = new LinkedList>();
List> list2 = new LinkedList>();
		
for(List list : list1){
	if(list ...){
	    //list2.add(list);这是错误的，因为list会变，如果直接添加list，那么list2中的值就是变化的，应该复制一份list添加
            
            //创建新的list，添加到list2中
            List l = new LinkedList();
	    for(Integer num : list)
		l.add(num);
	    
            list2.add(l);
        }
}

    在这个示例中，先遍历list1，把满足条件的元素放到list2中，其中list变量是用来遍历集合list1的，我们不能直接将其添加到list2中，即不能使用list2.add(list)，因为会引起list2的变化。比如，某次遍历中，list满足条件，我们直接调用list2.add(list)，那么下次循环中，list发生了变化，会导致list2中的元素发生变化，这并不是我们想要的结果，所以应该复制一份list，然后再添加。

代码：

import java.util.*;

class ComposeM{
	//求k个0-9的全部组合，使其和为m
	public List> getCompose(int m, int k){
		List> res = new LinkedList>();

		//边界处理
		if(m < 0 || m > k*9)
			return res;

		//特殊值处理
		if(m == 0){
			List list = new LinkedList();

			//添加k个0
			for(int i = 0; i < k; i++)
				list.add(0);

			res.add(list);
		}
		else if(m == k*9){
			List list = new LinkedList();

			//添加k个9
			for(int i = 0; i < k; i++)
				list.add(9);

			res.add(list);
		}
		else{
			//如果0> prelist = getCompose(m-1, k);

			//遍历和为m-1的所有组合
			for(List list : prelist){
				for(int i = 0; i < k; i++){
					int num = list.get(i);

					//如果num<9，那么加一，得到一个新的组合
					if(num < 9){
						list.set(i, num+1);
					}
					else{
						continue;//如果num==9，那么遍历下一个值
					}

					//将修改之后的list存到新的list集合中
					List l = new LinkedList();
					for(int j = 0; j < k; j++)
						l.add(list.get(j));

					Collections.sort(l);//对l进行排序，防止重复

					//如果res不包含l，就添加到其中
					//不能直接添加list，因为之后还会对list进行处理，会修改res的结果。
					//对于list嵌套list的情况，最好不要直接add遍历使用的变量list，而应该创建一个新的list，更新其值，然后add
					if(!res.contains(l))
						res.add(l);

					list.set(i, num);//将list的值复原
				}
			}
		}

		return res;
	}

	public static void main(String[] args){
		Scanner scan = new Scanner(System.in);//创建扫描器对象，从键盘读取输入

		while(scan.hasNext()){
			int m = scan.nextInt();
			int k = scan.nextInt();

			System.out.println("用"+k+"个0-9组合成"+m+"的组合为："+new ComposeM().getCompose(m, k));
		}
	}
}

运行结果：