字符串系列6 最长回文子串

LeetCode有一道最长回文子串的题，下面基本是官方解答的翻译版。

方法1：最长公共子串

常见错误

一些人可能会快速想到一个解决方法，然而这个方法却是错误的（但是很容易将它修改成正确的）：

将 $S$ 反转成 $S^{\prime }$，然后找到 $S$ 和 $S^{\prime }$ 的最长公共子串，这个最长公共子串就是 $S$ 的最长回文子串。

这看起来是没有问题的，比如 $S=caba$ 和 $S^{\prime }=abac$ 的最长公共子串 aba 就是正确答案。
但是对于 $S=abacdfgdcaba$ 和 $S^{\prime }=abacdgfdcaba$ 的最长公共子串 abacd 就显然不是一个回文子串。

正确算法

我们可以看到，当 $S$ 的某一个非回文子串正好是另一子串的反转，最长公共子串方法就会失败。为了纠正这个问题，每次我们找到一个最长的公共子串候选者时，我们检查子串的索引是否与被反转子串的原始索引相同。如果是，那么我们尝试更新到目前为止发现的最长的回文；如果不是，我们就跳过这个，找到下一个候选子串。

这给了我们一个时间复杂度 $O(n^2)$ ，空间复杂度 $O(n^2)$ （空间复杂度可以改进到$O(n)$）的动态规划解决方案。更多信息参考：
维基百科：Longest common substring problem 和我的博客：字符串系列3 最长公共子串。

方法2：暴力

列举所有子串，然后查看子串是否是回文串，不说了。

时间复杂度为 $O(n^3)$，空间复杂度为 $O(1)$，空间复杂度可进一步改进。

方法3：动态规划

为了改进暴力搜索，我们首先观察如何在验证回文时避免不必要的重新计算。以“ababa”为例。如果我们已经知道bab是一个回文，很明显ababa必须是回文，因为两个左右两边的字母是相同的。

我们将 $P(i,j)$ 定义为：
$$P(i,j)=\{\begin{array}{rlr}& true,& ifthesubstring{S}_i...S_{j}isapalindrome\\ & false,& otherwise.\end{array}$$
因此，$$P(i,j)=(P(i+1,j-1)and{S}_i==S_j)$$
初始条件为：$$P(i,i)=true$$ $$P(i,i+1)=(S_i==S_{i+1})$$ 然后我们就可以使用动态规划解决问题，我们首先初始化一个和两个字母的回文，然后逐步找到所有三个字母回文，以此类推下去。

DP的时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度可进一步改进。

方法4：从回文串中心展开

事实上，我们可以用 $O(n^2)$的时间复杂度和 $O(1)$ 的空间复杂度解决问题。

回文串是中心对称的，因此，回文可以从其中心扩展，并且只有 $2n-1$ 个这样的中心。

你可能会问为什么有 $2n-1$ 个而不是 $n$ 个中心？原因是回文的中心不止可以在字母上，也可以在两个字母之间，这些回文具有偶数个字母，例如abba，其中心位于两个b之间，Java 代码如下：

public String longestPalindrome(String s) {
    if (s == null || s.length() < 1) return "";
    int start = 0, end = 0;
    for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
        int len1 = expandAroundCenter(s, i, i);
        int len2 = expandAroundCenter(s, i, i + 1);
        int len = Math.max(len1, len2);
        if (len > end - start) {
            start = i - (len - 1) / 2;
            end = i + len / 2;
        }
    }
    return s.substring(start, end + 1);
}

private int expandAroundCenter(String s, int left, int right) {
    int L = left, R = right;
    while (L >= 0 && R < s.length() && s.charAt(L) == s.charAt(R)) {
        L--;
        R++;
    }
    return R - L - 1;
}

方法5：Manacher算法

这个算法在我之前的博客里面写过，附上链接：字符串系列2 Manacher 算法