三角函数各个公式推理及证明

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1. 余弦定理

余弦定理是勾股定理的一般形式，勾股定理是余弦定理的特殊情况，因此，余弦定理是怎么得出来的呢？本文将在勾股定理的基础上推到出余弦定理

如上图所示：三角形ABC，其中AD垂直于BC，则根据勾股定理：$c^2=A{D}^2+D{C}^C$
其中，$AD=bsin\alpha ,DC=a-BD=a-bcos\alpha$将这两个等式带入上式
$$c^2=A{D}^2+D{C}^C=(bsin\alpha {)}^2+(a-bcos\alpha {)}^2$$
$$c^2=b^{2}si{n}^2\alpha +a^2+b^{2}co{s}^2\alpha -2abcos\alpha$$
$$c^2=b^2(si{n}^2+co{s}^2\alpha ）+a^2\alpha -2abcos\alpha =b^2+a^2-2abcos\alpha$$
证明完毕。

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2. $cos(\alpha -\beta )=sin\alpha sin\beta +cos\alpha cos\beta$

证明：

如上图所示，三角形OAB，其中A点坐标客表示为$(r_{a}cos\alpha ,r_{a}sin\alpha )$，B点坐标客表示为$(r_{b}cos\beta ,r_{b}sin\beta )$。则$BA$可以表示为$(r_{a}cos\alpha -r_{b}cos\beta ,r_{a}sin\alpha -r_{b}sin\beta )$，则其长度的平方为：
$$|BA{|}^2=(r_{a}cos\alpha -r_{b}cos\beta {)}^2+(r_{a}sin\alpha -r_{b}sin\beta {)}^2$$
展开化简得：
$$|BA{|}^2=r_a^2+r_b^2-2r_a{r}_b(cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta )$$
同理，根据三角形的余弦定理，$|AB{|}^2=|OA{|}^2+|OB{|}^2-2|OA||OB|cos(\alpha -\beta )$,而|OA|的长度为$r_a$,|OB|的长度为$r_b$，代入方程得，
$$|BA{|}^2=r_a^2+r_b^2-2r_a{r}_{b}cos(\alpha -\beta )$$
比较上两式得，$cos(\alpha -\beta )=sin\alpha sin\beta +cos\alpha cos\beta$
证毕

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