Catalan Number（卡特兰数/卡塔兰数）

简介

卡特兰数可以比较直观地理解为：进行n次入栈和n次出栈，共有多少种出栈、入栈的组合方式。约束条件为：每一时刻的出栈次数不能多于入栈次数

推导

1. 抛开约数条件，对于共2n次的操作，有 Cn2n C 2 n n 种操作
2. 假设在第k次出现了非法操作，即出栈次数大于入栈次数，那么将k次之后的所有出栈改为入栈，入栈改为出栈。那么求n次入栈n次出栈的非法操作方式等价于求n-1次入栈，n+1次出栈的操作方式，易得方式数为 Cn−12n C 2 n n − 1 。
3. 所有的操作数减去非法操作数即为合法的操作数，即为 Cn2n−Cn−12n C 2 n n − C 2 n n − 1 。