信号与系统学习之连续时间傅里叶变换基本性质（说明与证明）

说到连续时间傅里叶变换的基本性质，想必大家肯定有所了解，当然教材都有介绍，这里我也是基于一些教材的证明进行介绍，同时也对其过程有所说明。首先先来聊点虚的，话说性质，为什么要了解这玩意，其实性质就是根据那最原始的变换式子推出来的，其可以帮助我们更好的简化运算当面对一些复杂的信号时或者说一些你可以通过结论直接就获取的信号，换句话其就是是结论省去了你自己去推导的麻烦过程。所以呢，我们有必要去了解并且掌握这些基本性质，哈哈，说聊点虚的，可能语句逻辑有点混乱，不管啦，进入正题：
先给出所有性质的源头“傅里叶变换对”，另外傅里叶变换对应的系统是线性时不变系统即LTI系统，所有性质都是在该公式以及LTI系统的基础上进行推导获得的：*

1、线性性质
对于线性性质，很显然我们可以轻易获得，主要是根据系统是LTI系统，即系统具有线性性质，再根据我们之前学习的线性性质即推出可以，此处补充线性性质的 特性如下：

那在此处便是，即连续时间信号在时域的线性组合等于其在频域的线性组合

说明：线性性质其实可以说是最常用的性质，它常常在我们不经意间就使用了，其实该性质不单单是在连续时间信号的分析中这样，在以后的离散时间信号分析、S分析、Z分析都是一样的，它们都是具有这个性质，可以说这是所有线性系统的通用性质，
2、时移性质
说明：所以说根据上述分析，一个连续信号对应时移变化的傅立叶变换相当于原信号乘上e^(-jwt0)因子。对应以后的求解有时移的连续信号的傅里叶变化，在给定原信号的傅里叶变换时，我们就可以轻易的推导出该信号的傅里叶变换。
3、频移性质

说明：根据上述分析，其实频移性质与时移性质有所类似，这在后面也被成为对偶性。这个性质再今后的调制是有这个十分重要的重要，我们都知道调制就是要把低频搬到适合信道传输的高频段去，其实就是频移性质起的作用。而对于上述两个性质，为了好记，我自己总结了一个小口令，时移不变频移变，要变就变正负号，其就是对应与相应符号的变化。
4、共轭与共轭对称性
共轭对称性：满足下列公式的关系

推导如下

说明：这个性质可以推出很重要其它性质，如**“若x(t)为实函数，则其傅里叶变换的实部为偶函数，虚部为奇函数或者模为偶函数，相位为奇函数”，另外还有实偶信号的傅里叶变换是实偶函数，实奇信号的傅里叶变换是虚奇函数等性质。其实证明起来也不会复杂，后面我将单独总结一下。
5、时间反转

说明：时间反转性质没什么可说的主要注意推导过程中的上下限变换，有时一不留神可能就会推出-X(-jw)的错误结果**
6、时间与频率尺度变换

说明：对于时间与频率尺度变换的性质，有时容易把1/|a|的绝对值因子去掉从而获得错误的结果。当然也可以从这个形成推出时间反转的性质“当a=-1时，即有
”
7、卷积性质

说明：卷积性质其实是很常用的也是最基本，我们可以记成时域卷积频域相乘
8、相乘性质

说明：相乘性质在通信学习的原理中有着十分重要的意义，另一方面也可以把它成为调制，其与卷积性质有着对偶关系
9、时域微分

说明：时域微分性质常常可以用于将微分方程转换成代数方程（时域的微分等于频域的jw乘性因子），并且可以利用先求一个简单可求信号的傅里叶变换求其（较难求）微分的傅里叶变换。
10、时域积分性质

说明：其实其完全可以按照时域微分的思路理解，只是其有直流分量项的干扰，所以当无直流分量时则其就是

11、频域微分性质

12、对偶性质

说明：

13、帕斯瓦尔定理

说明：帕斯瓦尔定理其实就是能量守恒定律，其本质是时域与频域能量守恒，但应注意其与周期信号的有所不同。
连续时间信号的傅里叶变换性质大概就这些，对于其中可能出现的错误希望大家能够多多指正。