【通信原理 入坑之路】—— 深入理解傅里叶变换2 之 “与冲击响应做卷积"

写在前面：本博文是《深入浅出通信原理》的学习笔记，仅供个人学习记录使用

一、什么是单位冲激响应序列？

“单位冲激响应序列”，这个名词我们听过好多遍了，但是应该如何理解呢？
首先我们先来看看什么是 “单位冲激序列”，它的公式定义是这样的：
$$\delta (n)=\{\begin{array}{l}1n=0\\ 0n=1,2,3...\end{array}$$

如果我们把这样一个单位冲激序列作为输入，输入进一个系统中，得到的响应就是单位冲激响应，一般我们用$h(n)$来表示。

并且，我们常常用单位冲激响应$h(n)$来描述一个系统！，也就是说：一个输入系统的信号$x(n)$（这个$x(n)$可以是任意信号），那么系统得到的输出$y(n)$就可以表示为：$$y(n)=x(n)\ast h(n)$$
(其中，$\ast$表示卷积运算）

二、与冲激函数做卷积

2.1 与$\delta (t)$做卷积的结果

我们来推导一下：
$$f(t)\ast \delta (t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )\delta (t-\tau )d\tau$$
而我们知道，对应单位冲激函数$\delta (t-\tau )$，只有当t = $\tau$时才等于1，其余时刻都等于0，因此，上面的式子中$f(\tau )$也可以换成$f(t)$，那么：$$\begin{array}{rl}& f(t)\ast \delta (t)\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )\delta (t-\tau )d\tau \\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)\delta (t-\tau )d\tau \\ & =f(t){\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t-\tau )d\tau \\ & =f(t)\end{array}$$
其中，我们有：${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t-\tau )d\tau =1$
那么，我们惊喜地发现：一个信号与单位冲激响应$\delta (t)$卷积等于该信号本身！！

2.2 与$\delta (t-t_0)$做卷积

还是类似，我们公式推导一下：$$f(t)\ast \delta (t-t_0)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f((\tau )\delta (t-t_0-\tau )d\tau$$
而当$\tau =t-t_0$时，$\delta (t-t_0-\tau )$才等于1，因此，我们又有：$$\begin{array}{rl}& f(t)\ast \delta (t-t_0)\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )\delta (t-t_0-\tau )d\tau \\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t-t_0)\delta (t-t_0-\tau )d\tau \\ & =f(t-t_0){\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t-t_0-\tau )d\tau \\ & =f(t-t_0)\end{array}$$
其中，我们有${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t-t_0-\tau )d\tau$ = 1
那么，我们也惊喜地发现：
信号与$\delta (t-t_0)$做卷积得到的是信号$f(t)$延迟时间$t_0$之后的信号$f(t-t_0)$！

2.3 在频域$X(\omega )$与$\delta (\omega -{\omega }_0)$做卷积

和2.2的推导类似，在频域$X(\omega )$与$\delta (\omega -{\omega }_0)$做卷积，当${\omega }_0$ > 0时，相当于把频谱往右边搬移了${\omega }_0$后的频谱，当${\omega }_0<0$时，相当于把频谱往左搬移了${\omega }_0$后的频谱

三、傅里叶变换的时移特性

傅里叶变换的时移特性是这样表述的：
如果我们有：$F(f(t))=X(\omega )$，那么$F(f(t-t_0))=X(\omega )e^{-j\omega t_0}$

也就是说如果时域信号$f(t)$的傅里叶变换得到的频谱是$X(\omega )$，那么$f(t)$经过时移$t_0$之后的信号$f(t-t_0)$的傅里叶变换就等于原来的频谱$X(\omega )$乘上$e^{-j\omega t_0}$

我们从定义角度推导一下：$$\begin{array}{rl}F(f(t-t_0))& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t-t_0)e^{-j\omega t}dt\\ & =e^{-j\omega t_0}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t-t_0)e^{-j\omega (t-t_0)}d(t-t_0)\\ & =e^{-j\omega t_0}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-j\omega x}dx\\ & =X(\omega )e^{-j\omega t_0}\end{array}$$