Openjudge 1759:最长上升子序列

题目

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描述

一个数的序列bi，当b1 < b2 < … < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, …, aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, …, aiK)，这里1 <= i1 < i2 < … < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).

你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

输入

输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。

输出

最长上升子序列的长度。

输入输出样例

样例输入
7
1 7 3 5 9 4 8
样例输出
4
来源
翻译自 Northeastern Europe 2002, Far-Eastern Subregion 的比赛试题

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O(n^2)算法

分析

状态转移方程

动态规划（dp）的入门经典题目
很容易得出状态转移方程为：

f[i]=max{f[1],f[2],f[3]...f[j]}+1 (0

初始化

for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=1;

一定要把f数组全部初始化成1，如果只初始化f[1]为1的话
当样例为类似于：
    5
    12 1 2 3 4 5
的时候，正解应该是5;而只初始化f[1]的话，答案会是3.

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Ac代码

#include
#include
using namespace std;
int n,a[1005],f[1005],ans=-1;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        f[i]=1;
    }
    for(int i=2;i<=n;i++)
        for(int j=1;jif(a[j]1);
        }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans=max(ans,f[i]);
    printf("%d",ans);
}

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O(nlogn)算法

分析

变量说明：将读入的序列存放到a数组中，开一个数组d，d[i]表示长度为i的上升子序列的末尾元素。整数len指向数组d最后一个元素的位置，所以最后len就是最长上升子序列的长度。
具体操作：边读入x（读入序列中的元素）边判断：x比数组d的末尾元素（d[len]）大的话，就把x接到数组d的后面——d[len+1]=x,len++;如果x<=d[len]（这里说的是最长上升子序列），查找d数组中第一个大于等于x的元素的位置（果断二分）j，并执行操作：d[j]=x;

注：这里的 x 可以理解为a[i].

初始化

d[1]=a[1];
int len=1;

关于二分查找

1.如果是最长上升子序列的话，可以用stl里的lower_bound()函数

#include
int j=lower_bound(d+1,d+len+1,a[i])-d;
//lower_bound(begin,end,k)的作用是二分查找[begin,end)
//左闭右开的区间内第一个大于k的数的位置，并返回它的地址，
//所以要-d（数组名就是数组里第一个元素的地址）

2.如果是最长不下降子序列的话，就可以用stl里的upper_bound()函数，具体操作和上面的lower_bound()一致

关于stl里二分查找函数的详解见这里 ->戳

3.其他乱七八糟的东西..比如说最长不上升子序列 或者是 最长下降子序列，就手动二分查找吧！！

4.关于二分法的练习：
Openjudge 7940查找最接近的元素
以及此题的Ac代码：戳

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Ac代码：

#include
#include
using namespace std;
int n,a[1001],d[1001];

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    int len=1;
    d[1]=a[1];
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]>d[len])
        {
            d[++len]=a[i];
            continue;
        }
        int j=lower_bound(d+1,d+len+1,a[i])-d;
        d[j]=a[i];
    }
    printf("%d",len);
}

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一个有助于更好地理解这个算法的调试：

c++里的调试实在是太辣鸡了！！于是附上边执行边输出执行过程的代码：

#include
#include
#include
using namespace std;
int n,a[1001],d[1001];

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    int len=1;
    d[1]=a[1];
    //printf("Step %d: add %d \n",len,d[len]);
    //没错，注释掉的这几句就是过程的输出
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]>d[len])
        {
            d[++len]=a[i];
            //printf("Step %d: add %d \n",len,d[len]);
            //cout<<"Now the array is: "<"    ";
            //for(int k=1;k<=len;k++)
                //printf("%d ",d[k]);
            //cout<continue;
        }
        int j=lower_bound(d+1,d+len+1,a[i])-d;
        //int bbb=d[j];
        d[j]=a[i];
        //printf("\nchange %d->%d\n",bbb,d[j]);
        //cout<<"Now the array is: "<"    ";
        //for(int k=1;k<=len;k++)
            //printf("%d ",d[k]);
        //cout<<"\n\n";
    }
    printf("%d",len);
}

附上图片展示：
输入样例为8
389 207 155 300 299 170 158 65
（偷懒用了最长不上升子序列-luogu导弹拦截 的样例..）

附：

关于NlogN算法的一篇特别好的讲解
戳

以及luogu上一道关于最长不上升子序列的题目
P1020 导弹拦截 .