正交多分辨分析2
正交多分辨分析2
4. 正交小波的构造
在正交多分辨分析1里我们基于尺度方程和小波方程的频域形式获得了低通滤波器 H ( w ) H(w) H(w)和带通滤波器 G ( w ) G(w) G(w)的性质，如下：
∣ H ( w ) ∣ 2 + ∣ H ( w + π ) ∣ 2 = 1 |H(w)|^{2}+|H(w+\pi)|^{2}=1 ∣H(w)∣2+∣H(w+π)∣2=1 ∣ G ( w ) ∣ 2 + ∣ G ( w + π ) ∣ 2 = 1 |G(w)|^{2}+|G(w+\pi)|^{2}=1 ∣G(w)∣2+∣G(w+π)∣2=1 H ( w ) G ∗ ( w ) + H ( w + π ) G ∗ ( w + π ) = 0 H(w)G^{*}(w)+H(w+\pi)G^{*}(w+\pi)=0 H(w)G∗(w)+H(w+π)G∗(w+π)=0
可以将上述三个性质归纳为两个位于信号空间 L 2 ( 0 , 2 π ) × L 2 ( 0 , 2 π ) L^{2}(0,2\pi)\times L^{2}(0,2\pi) L2(0,2π)×L2(0,2π)上的两个二维正交单位向量的关系: a ⃗ = ( H ( w ) , H ( w + π ) ) \vec{a}=\left ( H(w),H(w+\pi)\right ) a=(H(w),H(w+π))和 b ⃗ = ( G ( w ) , G ( w + π ) ) \vec{b}=\left ( G(w),G(w+\pi)\right ) b=(G(w),G(w+π))，其中每一个维度取值于信号空间 L 2 ( 0 , 2 π ) L^{2}(0,2\pi) L2(0,2π)。
∣ a ⃗ ∣ = ∣ b ⃗ ∣ = 1 |\vec{a}|=|\vec{b}|=1 ∣a∣=∣b∣=1 a ⃗ ⊥ b ⃗ \vec{a} \perp \vec{b} a⊥b换句话讲， { a ⃗ , b ⃗ } \{\vec{a},\vec{b}\} { a,b}构成信号空间 L 2 ( 0 , 2 π ) × L 2 ( 0 , 2 π ) L^{2}(0,2\pi)\times L^{2}(0,2\pi) L2(0,2π)×L2(0,2π)上的一组O.N.B，这一点也说明了由这组基组成的矩阵为酉矩阵。 M ( w ) = [ H ( w ) H ( w + π ) G ( w ) G ( w + π ) ] \bf {M}(\it w)= \left[ \begin{matrix} H(w) & H(w+\pi) \\ G(w) & G(w+\pi) \end{matrix} \right ] M(w)=[H(w)G(w)H(w+π)G(w+π)]
由滤波器性质可以得到： M ( w ) M ∗ ( w ) = [ 1 0 0 1 ] \bf {M}(\it w) \bf {M^{*}}(\it w)=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0& 1 \end{matrix} \right ] M(w)M∗(w)=[1001]即 M ( w ) \bf {M}(\it w) M(w)为酉矩阵。
由上述关系，我们可以由低通滤波器 H ( w ) H(w) H(w)构造带通滤波器 G ( w ) G(w) G(w)，一种构造方法是令： G ( w ) = e − i w H ^ ( w + π ) G(w)=e^{-iw}\hat{H}(w+\pi) G(w)=e−iwH^(w+π)容易验证上述构造方法满足上述酉矩阵的要求。进而通过小波方程来构造正交小波函数，这也就是MRA理论给出的一套系统的完整的构造正交小波的方法。归纳如下：
- 根据MRA的理论，需要先找到一个满足 ( { V j , j ∈ Z } , ϕ ( t ) ) (\{V_{j},j\in \mathbb{Z}\},\phi(t)) ({ Vj,j∈Z},ϕ(t))为 L 2 ( R ) L^{2}(\mathbb{R}) L2(R)上的一个MRA的尺度函数 ϕ ( t ) \phi(t) ϕ(t)。
- 通过 ϕ ( t ) \phi(t) ϕ(t)在 V 1 V_{1} V1的投影序列 { h n ; n ∈ Z } : h n = ∫ − ∞ ∞ ϕ ( t ) 2 ϕ ∗ ( 2 t − n ) d t \{h_{n};n\in \mathbb{Z}\}:h_{n}=\int_{-\infty}^{\infty}\phi(t)\sqrt{2}\phi^{*}(2t-n)dt { hn;n∈Z}:hn=∫−∞∞ϕ(t)2ϕ∗(2t−n)dt
- 求得低通滤波器 H ( w ) : H ( w ) = ∑ n ∈ Z 1 2 h n e − i n w H(w):H(w)=\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{\sqrt{2}}h_{n}e^{-inw} H(w):H(w)=n∈Z∑21hne−inw
- 然后通过上述构造方式求得带通滤波器 G ( w ) : G ( w ) = e − i w H ^ ( w + π ) G(w):G(w)=e^{-iw}\hat{H}(w+\pi) G(w):G(w)=e−iwH^(w+π)
- 求得带通滤波器的脉冲响应系数序列 { g n ; n ∈ Z } : g n = ∫ 0 2 π G ( w ) 1 2 e i n w \{g_{n};n\in \mathbb{Z}\}:g_{n}=\int_{0}^{2\pi}G(w)\frac{1}{\sqrt{2}}e^{inw} { gn;n∈Z}:gn=∫02πG(w)21einw
- 利用 { g n ; n ∈ Z } \{g_{n};n\in \mathbb{Z}\} { gn;n∈Z}和小波方程求得小波函数： ψ ( t ) = ∑ n ∈ Z g n 2 ϕ ( 2 t − n ) \psi(t)=\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}g_{n}\sqrt{2}\phi(2t-n) ψ(t)=n∈Z∑gn2ϕ(2t−n)
接下来，我们将利用这种方法来构造Haar小波和Shannon小波。
4.1 Haar小波的构造
按照上面提到的构造步骤：
- 构造MRA
首先我们要构造尺度函数 ϕ ( t ) \phi(t) ϕ(t)，要求 { ϕ ( t − n ) ; n ∈ Z } \{\phi(t-n);n\in\mathbb{Z}\} { ϕ(t−n);n∈Z}构成 V 0 V_{0} V0的O.N.B。即找到一组基，它的整数平移与原函数相互正交，一个最直接的例子就是门函数，表示如下： ϕ ( t ) = g 1 ( t − 1 / 2 ) \phi(t)=g_{1}(t-1/2) ϕ(t)=g1(t−1/2)非常直观的， { ϕ ( t − n ) ; n ∈ Z } \{\phi(t-n);n\in\mathbb{Z}\} { ϕ(t−n);n∈Z}构成O.N.S，定义 V 0 = { f ( t ) ∈ L 2 ( R ) ; ∀ k ∈ Z , f ( t ) = C k , w h e n k < t < k + 1 } V_{0}=\{f(t)\in L^{2}(\mathbb{R});\forall k\in\mathbb{Z},f(t)=C_{k},when\;k
定义 V j = { f ( 2 j t ) ; f ( t ) ∈ V 0 } , j ∈ Z V_{j}=\{f(2^{j}t);f(t)\in V_{0}\},j\in\mathbb{Z} Vj={ f(2jt);f(t)∈V0},j∈Z，则容易验证 ( { V j , j ∈ Z } , ϕ ( t ) ) (\{V_{j},j\in \mathbb{Z}\},\phi(t)) ({ Vj,j∈Z},ϕ(t))为 L 2 ( R ) L^{2}(\mathbb{R}) L2(R)上的一个正交多分辨分析。 - 求序列 { h n ; n ∈ Z } \{h_{n};n\in \mathbb{Z}\} { hn;n∈Z}
这里可以比较容易求得： h 0 = h 1 = 1 2 h_{0}=h_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}} h0=h1=21且满足 ∑ n ∈ Z ∣ h n ∣ 2 = 1 \sum\limits_{n\in\mathbb{Z}}|h_{n}|^{2}=1 n∈Z∑∣hn∣2=1，因此序列 { h n ; n ∈ Z } \{h_{n};n\in \mathbb{Z}\} { hn;n∈Z}仅包含这两项。
- 获得低通滤波器
H ( w ) = ∑ n ∈ Z 1 2 h n e − i n w = 1 2 ( 1 + e − i w ) H(w)=\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{\sqrt{2}}h_{n}e^{-inw}\\=\frac{1}{2}(1+e^{-iw}) H(w)=n∈Z∑21hne−inw=21(1+e−iw)低通滤波器的强度谱见下图：
- 获得带通滤波器
G ( w ) = e − i w H ^ ( w + π ) = 1 2 ( − 1 + e − i w ) G(w)=e^{-iw}\hat{H}(w+\pi)\\=\frac{1}{2}(-1+e^{-iw}) G(w)=e−iwH^(w+π)=21(−1+e−iw)带通滤波器的强度谱见下图：
- 求序列 { g n ; n ∈ Z } \{g_{n};n\in \mathbb{Z}\} { gn;n∈Z}
从上式中可以直接给出 { g n ; n ∈ Z } : g 0 = − g 1 = − 1 2 \{g_{n};n\in \mathbb{Z}\}:g_{0}=-g_{1}=-\frac{1}{\sqrt{2}} { gn;n∈Z}:g0=−g1=−21 - 获得小波函数
ψ ( t ) = ∑ n ∈ Z g n 2 ϕ ( 2 t − n ) = − ϕ ( 2 t ) + ϕ ( 2 t − 1 ) \psi(t)=\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}g_{n}\sqrt{2}\phi(2t-n)\\=-\phi(2t)+\phi(2t-1) ψ(t)=n∈Z∑gn2ϕ(2t−n)=−ϕ(2t)+ϕ(2t−1)
4.2 Shannon小波的构建
（1）Shannon采样定理
∀ f ( t ) ∈ L 2 ( R ) , i f f ^ ( w ) = 0 , ∣ w ∣ > B \forall f(t)\in L^{2}(\mathbb{R}),if \;\hat{f}(w)=0,|w|>B ∀f(t)∈L2(R),iff^(w)=0,∣w∣>B则 f ( t ) = ∑ n ∈ Z f ( n Δ ) S a ( 1 Δ t − n ) f(t)=\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}f(n\Delta)Sa(\frac{1}{\Delta}t-n) f(t)=n∈Z∑f(nΔ)Sa(Δ1t−n),其中 S a ( t ) = s i n ( π t ) π t , 0 < Δ < = π B Sa(t)=\frac{sin(\pi t)}{\pi t},0<\Delta<=\frac{\pi}{B} Sa(t)=πtsin(πt),0<Δ<=Bπ
(2) 当 B = π B=\pi B=π且取最小采样频率： Δ = π B = 1 \Delta=\frac{\pi}{B}=1 Δ=Bπ=1时，可以证明 { ϕ ( t − n ) = S a ( t − n ) ; n ∈ Z } \{\phi (t-n)=Sa(t-n);n\in \mathbb{Z}\} { ϕ(t−n)=Sa(t−n);n∈Z}构成 V 0 = { f ( t ) ∈ L 2 ( R ) ； f ^ ( w ) = 0 , ∣ w ∣ > π } V_{0}=\{f(t)\in L^{2}(\mathbb{R})；\hat{f}(w)=0,|w|>\pi\} V0={ f(t)∈L2(R)；f^(w)=0,∣w∣>π}的O.N.B。
当 B = 2 j π B=2^{j}\pi B=2jπ且取最小采样频率： Δ = π B = 2 − j \Delta=\frac{\pi}{B}=2^{-j} Δ=Bπ=2−j时， { 2 j 2 ϕ ( 2 j t − n ) ; n ∈ Z } \{2^{\frac{j}{2}}\phi (2^{j}t-n);n\in \mathbb{Z}\} { 22jϕ(2jt−n);n∈Z}构成 V 0 = { f ( t ) ∈ L 2 ( R ) ； f ^ ( w ) = 0 , ∣ w ∣ > 2 j π } V_{0}=\{f(t)\in L^{2}(\mathbb{R})；\hat{f}(w)=0,|w|>2^{j}\pi\} V0={ f(t)∈L2(R)；f^(w)=0,∣w∣>2jπ}的O.N.B。
(3) 下面按照正交小波的构建方式构建Shannon小波：
- 构造MRA
可以证明 ( { V j ; j ∈ Z } , ϕ ( t ) ) (\{V_{j};j\in\mathbb{Z}\},\phi(t)) ({ Vj;j∈Z},ϕ(t))为 L 2 ( R ) L^{2}(\mathbb{R}) L2(R)上的一组MRA。
- 求序列 { h n ; n ∈ Z } \{h_{n};n\in \mathbb{Z}\} { hn;n∈Z}
常规求系数的方法如下：
h n = ∫ − ∞ ∞ ϕ ( t ) 2 ϕ ∗ ( 2 t − n ) d t h_{n}=\int_{-\infty}^{\infty}\phi(t)\sqrt{2}\phi^{*}(2t-n)dt hn=∫−∞∞ϕ(t)2ϕ∗(2t−n)dt
但是根据采样定理的特点可以直接给出： h n = 1 2 ϕ ( n Δ ) = 1 2 S a ( n 2 ) h_{n}=\frac{1}{\sqrt{2}}\phi(n\Delta)=\frac{1}{\sqrt{2}}Sa(\frac{n}{2}) hn=21ϕ(nΔ)=21Sa(2n)
- 获得低通滤波器
H ( w ) = ∑ n ∈ Z 1 2 h n e − i n w = ∑ n ∈ Z 1 2 S a ( n 2 ) e − i n w H(w)=\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{\sqrt{2}}h_{n}e^{-inw}\\=\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{2}Sa(\frac{n}{2})e^{-inw} H(w)=n∈Z∑21hne−inw=n∈Z∑21Sa(2n)e−inw
- 获得带通滤波器
G ( w ) = e − i w H ^ ( w + π ) = ∑ n ∈ Z 1 2 S a ( n 2 ) e i ( n − 1 ) w ( − 1 ) n = ∑ k ∈ Z 1 2 S a ( 1 − k 2 ) e − i k w ( − 1 ) 1 − k G(w)=e^{-iw}\hat{H}(w+\pi)\\=\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{2}Sa(\frac{n}{2})e^{i(n-1)w}(-1)^{n}\\=\sum\limits_{k\in \mathbb{Z}}\frac{1}{2}Sa(\frac{1-k}{2})e^{-ikw}(-1)^{1-k} G(w)=e−iwH^(w+π)=n∈Z∑21Sa(2n)ei(n−1)w(−1)n=k∈Z∑21Sa(21−k)e−ikw(−1)1−k
- 求序列 { g n ; n ∈ Z } \{g_{n};n\in \mathbb{Z}\} { gn;n∈Z}
G ( w ) = ∑ k ∈ Z 1 2 S a ( 1 − k 2 ) e − i k w ( − 1 ) 1 − k → g n = 1 2 S a ( 1 − n 2 ) ( − 1 ) 1 − n G(w)=\sum\limits_{k\in \mathbb{Z}}\frac{1}{2}Sa(\frac{1-k}{2})e^{-ikw}(-1)^{1-k}\\\rightarrow g_{n}=\frac{1}{\sqrt{2}}Sa(\frac{1-n}{2})(-1)^{1-n} G(w)=k∈Z∑21Sa(21−k)e−ikw(−1)1−k→gn=21Sa(21−n)(−1)1−n - 获得小波函数
ψ ( t ) = ∑ n ∈ Z g n 2 ϕ ( 2 t − n ) = ∑ n ∈ Z S a ( 1 − n 2 ) ( − 1 ) 1 − n ϕ ( 2 t − n ) = ∑ n ∈ Z S a ( n − 1 2 ) ( − 1 ) 1 + n ϕ ( 2 t − n ) = − ∑ n = 2 m , m ∈ Z S a ( n − 1 2 ) ϕ ( 2 t − n ) + ∑ n = 2 m − 1 , m ∈ Z S a ( n − 1 2 ) ϕ ( 2 t − n ) = − ∑ n = 2 m , m ∈ Z S a ( n − 1 2 ) ϕ ( 2 t − n ) − ∑ n = 2 m − 1 , m ∈ Z S a ( n − 1 2 ) ϕ ( 2 t − n ) + ∑ n = 2 m − 1 , m ∈ Z S a ( n − 1 2 ) ϕ ( 2 t − n ) + ∑ n = 2 m − 1 , m ∈ Z S a ( n − 1 2 ) ϕ ( 2 t − n ) = − ∑ n ∈ Z S a ( n − 1 2 ) ϕ ( 2 t − n ) + 2 ∑ n = 2 m − 1 , m ∈ Z S a ( n − 1 2 ) ϕ ( 2 t − n ) = − ∑ n ∈ Z h n 2 ϕ ( 2 ( t − 1 2 ) − n ) + 2 S a ( 0 ) ϕ ( 2 ( t − 1 2 ) ) = − ϕ ( t − 1 2 ) + 2 ϕ ( t − 1 2 ) \psi(t)=\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}g_{n}\sqrt{2}\phi(2t-n)\\=\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}Sa(\frac{1-n}{2})(-1)^{1-n}\phi(2t-n) \\=\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}Sa(\frac{n-1}{2})(-1)^{1+n}\phi(2t-n) \\=-\sum\limits_{n=2m,m\in \mathbb{Z}}Sa(\frac{n-1}{2})\phi(2t-n)+\sum\limits_{n=2m-1,m\in \mathbb{Z}}Sa(\frac{n-1}{2})\phi(2t-n) \\=-\sum\limits_{n=2m,m\in \mathbb{Z}}Sa(\frac{n-1}{2})\phi(2t-n)-\sum\limits_{n=2m-1,m\in \mathbb{Z}}Sa(\frac{n-1}{2})\phi(2t-n)\\+\sum\limits_{n=2m-1,m\in \mathbb{Z}}Sa(\frac{n-1}{2})\phi(2t-n)+\sum\limits_{n=2m-1,m\in \mathbb{Z}}Sa(\frac{n-1}{2})\phi(2t-n) \\=-\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}Sa(\frac{n-1}{2})\phi(2t-n)+2\sum\limits_{n=2m-1,m\in \mathbb{Z}}Sa(\frac{n-1}{2})\phi(2t-n) \\=-\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}h_{n}\sqrt{2}\phi(2(t-\frac{1}{2})-n)+2Sa(0)\phi(2(t-\frac{1}{2}))\\=-\phi(t-\frac{1}{2})+2\phi(t-\frac{1}{2}) ψ(t)=n∈Z∑gn2ϕ(2t−n)=n∈Z∑Sa(21−n)(−1)1−nϕ(2t−n)=n∈Z∑Sa(2n−1)(−1)1+nϕ(2t−n)=−n=2m,m∈Z∑Sa(2n−1)ϕ(2t−n)+n=2m−1,m∈Z∑Sa(2n−1)ϕ(2t−n)=−n=2m,m∈Z∑Sa(2n−1)ϕ(2t−n)−n=2m−1,m∈Z∑Sa(2n−1)ϕ(2t−n)+n=2m−1,m∈Z∑Sa(2n−1)ϕ(2t−n)+n=2m−1,m∈Z∑Sa(2n−1)ϕ(2t−n)=−n∈Z∑Sa(2n−1)ϕ(2t−n)+2n=2m−1,m∈Z∑Sa(2n−1)ϕ(2t−n)=−n∈Z∑hn2ϕ(2(t−21)−n)+2Sa(0)ϕ(2(t−21))=−ϕ(t−21)+2ϕ(t−21)作一个平移，可以令小波函数为： ψ ( t ) = − ϕ ( t ) + 2 ϕ ( t ) = − S a ( t ) + 2 S a ( 2 t ) \psi(t)=-\phi(t)+2\phi(t)\\=-Sa(t)+2Sa(2t) ψ(t)=−ϕ(t)+2ϕ(t)=−Sa(t)+2Sa(2t)上述推导中使用了序列 S a n 2 Sa_{\frac{n}{2}} Sa2n的一些性质，如： S a ( − n 2 ) = S a ( n 2 ) ; S a ( n ) = 0 , n ≠ 0 Sa(-\frac{n}{2})=Sa(\frac{n}{2});Sa(n)=0,n\neq 0 Sa(−2n)=Sa(2n);Sa(n)=0,n=0
