c/c++快速幂运算（递归与非递归）

问题描述：高效求解x^n。
问题分析：假设xⁿ等于3⁵ 。x = 3， n = 5 = 101（B），其中B表示该数是二进制。则有n = 2² + 2⁰ ,对于x就有x⁴ * x¹ = x⁵ 。这就是快速幂运算，相比于平常求幂来说，时间复杂度降为O（log 2ⁿ）。
（1）首先给出平常求法的代码，时间复杂度为O（n），如果只想了解快速幂算法的话，可直接跳过1，看2。

int main()
{
     
	int x;
	int n;
	cin >> x >> n;
	ll res = 1 ;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
     
		res = res * x;
	}
	cout << res;
	return 0;
}

（2）下面给出快速幂非递归的代码。

#define mod 9999999
int main()
{
     
	ll x;
	ll n;
	ll res = 1;
	cout << "请输入所需要求的幂运算表达式:(格式x n)" << endl;
	cin >> x >> n;
	while (n > 0)
	{
     
		if (n & 1 == 1)
			res = res * x % mod;
		x = x*x % mod;//计算1所在的位置的取值，比如100(B)的1的取值为2^2
		n >>= 1;//二进制右移
	}
	cout << res;
	return 0;
}

代码解释：因为求幂运算是指数增长的，为了防止超过数据类型的表达范围，因此对结果进行了求余运算。
（3）对于递归求法，下面给出代码，跟上面的代码逻辑一样。对于递归求法，博主我是不推荐的，但是递归是为了让更好的理解。

#define mod 999999999
ll fun(ll n, ll x, ll res)
{
     
	if (n == 0)
		return 1;
	if (n & 1 == 1) res = res* x % mod;
	x = x * x % mod;
	n >>= 1;
	return (res * fun(n, x, res));
}
int main()
{
     
	ll x;
	ll n;
	cin >> x >> n;
	ll res = 1;
	cout << fun(n,x,res) << endl;
	return 0;
}