约瑟夫环 （孩子们的游戏(圆圈中最后剩下的数)）

每年六一儿童节,NowCoder都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为NowCoder的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始报数。每次喊到m的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续0...m-1报数....这样下去....直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到NowCoder名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!^_^)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？

解法一：

import java.util.ArrayList;
public class Solution {
    public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
        if(n < 1 || m < 1) return -1;
        ArrayList list = new ArrayList();
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            list.add(i);
        }
        int index = -1;//n和m均为从0开始，n和m分别为小孩个数和报数大小
        while(list.size() > 1) {
            index = (index + m) % list.size();//每次报数将要删除的数的索引
            list.remove(index);
            index--;
        }
        return list.get(0);
    }
}

解法二： 用数组模拟环(效率较低)

import java.util.ArrayList;
public class Solution {
    public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
        if(n < 1 || m < 1) return -1;
        ArrayList list = new ArrayList();
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            list.add(i);
        }
        int index = -1;
        while(list.size() > 1) {
            index = (index + m) % list.size();
            list.remove(index);
            index--;
        }
        return list.get(0);
    }
}

解法三：递归

如果只求最后一个报数胜利者的话，我们可以用数学归纳法解决该问题，为了讨      论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

 问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人 继续从0开始报数。求胜利者的编号。

 我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新      的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:

        k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换：

k     --> 0

k+1   --> 1

k+2   --> 2

...

...

k-2   --> n-2

k-1   --> n-1

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解： 例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情 况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n。

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]。

递推公式

f[1]=0;

f[i]=(f[i-1]+m)%i;  (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。 因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1。

import java.util.ArrayList;
public class Solution {
    public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
        if(n==0)
            return -1;
        if(n==1)
            return 0;
        else
            return (LastRemaining_Solution(n-1,m)+m)%n;
    }
}