关于傅里叶级数与傅里叶变化

关于傅里叶级数与傅里叶变化的一些问题（这里都是连续信号，离散信号看成连续信号的特例即可）

傅里叶级数

1.任何周期信号都可以用正弦信号和余弦信号构成的无穷级数来表示（cos信号和sin信号的基波和谐波）（周期为T,自变量为t）。
2.非周期信号分为两种，一种是无限长（存在一边（正无穷或者负无穷）无限远处不为0）非周期信号S，另一种是只在区间 [a, b ] 上有值的区间外全部为0的有限长非周期信号SS，这两种信号也都可以用傅里叶级数表示。
3.这个级数可能收敛可能不收敛，但是只要满足狄利克雷条件就是收敛的
狄利赫里条件如下：
在任何周期内，x(t)须绝对可积；
在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；
在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。
4.现实信号当中的绝大多数信号都是满足狄利克雷条件的
5.下图是傅里叶级数展开式以及傅里叶系数的计算方法，这个展开式是按照三角函数形式展开的，同时还可以借助欧拉公式展开成复指数形式，用ejwt表示cos和sin函数。

收敛是意思就是上面的n不能等于无穷大，公式是可以写出来的。里面的系数就是傅里叶系数，表示的是谐波分量（基波或者直流分量）的幅度。
对于周期信号，可能收敛也可能不收敛，不收敛时，他的各个谐波是有规律的。
对于S信号，他是不满足狄利克雷条件的，他就不收敛，他的展开式写不出来，并且各个谐波之间没有规律。
对于SS信号，只需要按照他在区间[a,b ]上满足狄利克雷条件，他就是收敛的，具体展开方法如下，需要做周期延拓。


an和bn表示的是谐波分量的幅度信息。

傅里叶变换

傅里叶变换可以看成是傅里叶级数的连续形式，因为傅里叶级数的各个谐波分量频率是基波的整数倍，所以频率上是离散的，但是傅里叶变换可以看成是各个谐波分量的频率是基波频率的任意倍，所以在频率是是连续的。
对于非周期信号需要满足 狄利克雷条件，他的傅里叶变换才是收敛的（有意义的）
因此对于S信号，他是不满足的，他的傅里叶变换不存在无意义
对于SS信号，只要他在区间[ t0, t0+T ]上满足狄利克雷条件，他的傅里叶变换就存在

变换是唯一对应的。
对于周期信号
先从直流信号说起，然后推到cos和sin信号

这个推导是利用了傅里叶变换的频移特性。
对于一般周期信号，只要满足狄利克雷条件，他的傅里叶变换也是存在的，通过展开为傅里叶级数的形式，进一步用cos和sin的傅里叶变换得到一般周期信息号的傅里叶变换。
一般周期信号的傅里叶变换推导过程如下图所示


上图也简述了一般周期信号满足狄利克雷条件时其傅里叶级数系数与傅里叶变换冲击函数强度（冲激函数强度指的是其冲击积分的值，就像单位冲击函数高度无限大，但是积分值为1一个道理）之间的关系。

周期信号的傅里叶级数与其单周期信号傅里叶变换之间的关系

式中周期信号周期是T1,周期信号是f(t)，其单周期为f0(t)，单周期的频谱为F0(w),周期信号的复指数系数为Fn，w1为T1的角频率形式（这里不是数字角频率，因为不涉及采样，实际上这个w1相当于采样那个地方的模拟角频率Ω）。