【LeetCode】1022. Smallest Integer Divisible by K 解题报告（Python）

作者： 负雪明烛
id： fuxuemingzhu
个人博客： http://fuxuemingzhu.cn/

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题目地址：https://leetcode.com/problems/smallest-integer-divisible-by-k/

题目描述

Given a positive integer K, you need find the smallest positive integer N such that N is divisible by K, and N only contains the digit 1.

Return the length of N. If there is no such N, return -1.

Example 1:

Input: 1
Output: 1
Explanation: The smallest answer is N = 1, which has length 1.

Example 2:

Input: 2
Output: -1
Explanation: There is no such positive integer N divisible by 2.

Example 3:

Input: 3
Output: 3
Explanation: The smallest answer is N = 111, which has length 3.

Note:

1. 1 <= K <= 10^5

题目大意

给了一个整数K，现在要求一个全部由1构成的十进制整数N，使得N能被K整除，并且要求返回最小满足条件的N的位数。如果N不存在，则返回-1.

解题方法

这个题有点不好想，如果不去考虑技巧的话，根本想不出来还有什么解法。

首先，如果K的尾数是2，4，5，6，8的话，一定不存在N。简单说明：我们要求的N结尾一定是1，那么一定不能被2的倍数整除。另外我们知道能被5整除的数字的结尾必须是0或者5，所以得证。

然后，我们要证明N的长度不会超过K。

我们要判断对于每个N其对K的余数：1 % K, 11 % K, 111 % K, ..., 11...1 (K '1's) % K.

1. 如果这K个余数中有一个余数是0，那么当前的N能被K整除直接返回。
2. 如果这K个余数中都不为0时，一定有重复的余数！我们知道一个数对K的余数只能是0 ~ K - 1其中的一个，所以如果K个数字的余数中没有0，那么肯定有重复的余数。如果出现重复的余数，那么后面再增大N时，对K的余数就会形成循环，则再也不可能出现余数为0的情况。

总之，如果遍历到了长度为K的N时仍然不存在余数是0，那么后面就不用搜索了。

举个例子，我们发现长度 <= 6 = K的N的余数是循环的。

• 1 % 6 = 1
• 11 % 6 = 5
• 111 % 6 = 3
• 1111 % 6 = 1
• 11111 % 6 = 5
• 111111 % 6 = 3

严谨的证明应该是如果N2 % K == N1 % K的话，证明(10 * N2 + 1) % K == (10 * N1 + 1) % K. 留给读者证明吧。

另外，我们在求的过程中，并不是直接维护的N，而是维护的N % K，这里的假设是(10 * N + 1) % K的变化规律和(10 * (N % K) + 1) % K变化规律一致。

Python代码如下：

class Solution(object):
    def smallestRepunitDivByK(self, K):
        """
        :type K: int
        :rtype: int
        """
        if K % 10 not in {1, 3, 7, 9}: return -1
        r = 0
        for i in range(1, K + 1):
            r = (10 * r + 1) % K
            if r == 0:
                return i
        return -1

参考资料：https://leetcode.com/problems/smallest-integer-divisible-by-k/discuss/260875/Python-O(K)-with-Detailed-Explanations

日期

2019 年 3 月 24 日 —— 这个周赛太悲催了