CodeForces 575 H.Bots（组合数学）

Description

两个人博弈，每一步只有一个人赢，游戏结束时每个人赢了 n 局，问满足条件的局面数（包括中间局面）

Input

一个整数 n(1≤n≤106)

Output

输出所有局面数，结果模 109+7

Sample Input

2

Sample Output

19

Solution

以 (x,y) 表示第一个人赢 x 局第二个人赢 y 局的状态，那么答案为 ans=∑i=1n∑j=0nf[i][j] ，其中 f[i][j] 为从 (0,0) 状态变到 (i,j) 状态的方案数，显然 f[i][j]=Cji+j

ans=======∑i=0n∑j=0nCji+j∑i=0n(Cii+Cii+1+...+Cii+n)∑i=0n(Ci+1i+1+Cii+1+...+Cii+n)∑i=0nCi+1i+n+1Cnn+1+Cnn+2+...+Cn2n+1Cn+1n+1+Cnn+1+Cnn+2+...+Cn2n+1−1Cn+12n+2−1

用到恒等式 Cji+Cj+1i=Cj+1i+1

Code

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=2000005;
#define mod 1000000007
int fact[maxn],inv[maxn];
void init(int n=2e6+2)
{
    fact[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)fact[i]=(ll)i*fact[i-1]%mod;
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=mod-(ll)(mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    inv[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)inv[i]=(ll)inv[i-1]*inv[i]%mod;
}
int C(int n,int m)
{
    return (ll)fact[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
int main()
{
    init();
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
        printf("%d\n",(C(2*n+2,n+1)-1+mod)%mod);
    return 0;
}